Usando a Regra de L Hospital, calcule:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando $ x $ tende ao infinito da expressão
. Para resolver isso, vamos usar a Regra de L’Hospital, que é útil para calcular limites que resultam em formas indeterminadas como
ou
.
Passo 2
Vamos começar simplificando a expressão usando logaritmos naturais. Sabemos que:
Isso nos permite focar no cálculo do limite dentro do expoente.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o limite dentro do expoente:
Essa expressão está na forma
, que é uma forma indeterminada adequada para aplicar a Regra de L’Hospital.
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hospital, o limite se transforma em:
Passo 6
Vamos calcular esse novo limite:
Quando $ x $ tende a infinito:
Então, o limite total é:
Resposta
O limite é
.