Usando a Regra de L Hospital, calcule:
lim x +infty[xx^2+1]^1x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando $ x $ tende ao infinito da expressão x . Para resolver isso, vamos usar a Regra de L’Hospital, que é útil para calcular limites que resultam em formas indeterminadas como [xx^2+1]^1x ou 00.

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão usando logaritmos naturais. Sabemos que:
limx to +infty [xx^2+1]^1x = e^limx to +infty 1x cdot ln(xx^2+1)
Isso nos permite focar no cálculo do limite dentro do expoente.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite dentro do expoente:
limx to +infty ln(xx^2+1)x
Essa expressão está na forma -inftyinfty, que é uma forma indeterminada adequada para aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivada do numerador:
ddx ln(xx^2+1) = 1x - 2xx^2+1
Derivada do denominador:
ddx x = 1

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hospital, o limite se transforma em:
limx to +infty ( 1x - 2xx^2+1 )

Passo 6

Vamos calcular esse novo limite:
Quando $ x $ tende a infinito:
x
1x to 0
Então, o limite total é:
2xx^2+1 approx 2xx^2 = 2x to 0

Resposta

O limite é 1.

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