Às 8 h o navio
está a 5 km ao sul do navio
. Se o navio
está navegando para o leste à
e o navio
está navegando para o norte a
então determine a razão em que a distância entre os navios está variando às 8 h e 30 min .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos dois navios: o navio A está 5 km ao sul do navio B às 8 horas da manhã. O navio A está navegando para o leste a uma velocidade de 16 km/h, e o navio B está navegando para o norte a 20 km/h. Queremos descobrir como a distância entre os dois navios está mudando às 8 horas e 30 minutos. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cinemática e derivadas para calcular a taxa de variação da distância entre os navios.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o tempo $ t $ como o tempo que passou desde as 8 horas. Como queremos saber a situação às 8 horas e 30 minutos, $ t = 0,5 $ horas.
Passo 3
Vamos representar a posição dos navios no tempo $ t $ em um sistema de coordenadas. Suponha que o navio B esteja na origem
às 8 horas. Então, às 8 horas, o navio A está 5 km ao sul, ou seja, na posição
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a posição de cada navio após $ t $ horas:
-
O navio A está se movendo para o leste a 16 km/h. Então, sua posição em relação ao eixo x após $ t $ horas será $ x_A = 16t $, e como ele está se movendo apenas para o leste, a posição y permanece constante em -5 km. Portanto, a posição do navio A é
. -
O navio B está se movendo para o norte a 20 km/h. Então, sua posição em relação ao eixo y após $ t $ horas será $ y_B = 20t $, e a posição x permanece constante em 0 km. Portanto, a posição do navio B é
.
Passo 5
Agora, queremos encontrar a distância $ D $ entre os dois navios no tempo $ t $. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos no plano:
Substituindo as posições:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Passo 7
Para encontrar a taxa de variação da distância $ \frac{dD}{dt} $, vamos derivar $ D $ em relação ao tempo $ t $.
Primeiro, reescrevemos $ D $ como:
Derivando ambos os lados em relação a $ t $:
Passo 8
Agora, substituímos $ t = 0,5 $ horas na expressão para $ \frac{dD}{dt} $:
Resposta
A taxa na qual a distância entre os navios está variando às 8 h e 30 min é aproximadamente $ 25,18 , km/h $.