Às 8 h o navio A está a 5 km ao sul do navio B. Se o navio A está navegando para o leste à 16 km / h e o navio B está navegando para o norte a 20 km / h então determine a razão em que a distância entre os navios está variando às 8 h e 30 min .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos dois navios: o navio A está 5 km ao sul do navio B às 8 horas da manhã. O navio A está navegando para o leste a uma velocidade de 16 km/h, e o navio B está navegando para o norte a 20 km/h. Queremos descobrir como a distância entre os dois navios está mudando às 8 horas e 30 minutos. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cinemática e derivadas para calcular a taxa de variação da distância entre os navios.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o tempo $ t $ como o tempo que passou desde as 8 horas. Como queremos saber a situação às 8 horas e 30 minutos, $ t = 0,5 $ horas.

Passo 3

Vamos representar a posição dos navios no tempo $ t $ em um sistema de coordenadas. Suponha que o navio B esteja na origem t às 8 horas. Então, às 8 horas, o navio A está 5 km ao sul, ou seja, na posição (0, 0).

Passo 4

Agora, vamos calcular a posição de cada navio após $ t $ horas:
  • O navio A está se movendo para o leste a 16 km/h. Então, sua posição em relação ao eixo x após $ t $ horas será $ x_A = 16t $, e como ele está se movendo apenas para o leste, a posição y permanece constante em -5 km. Portanto, a posição do navio A é t .
  • O navio B está se movendo para o norte a 20 km/h. Então, sua posição em relação ao eixo y após $ t $ horas será $ y_B = 20t $, e a posição x permanece constante em 0 km. Portanto, a posição do navio B é t .

Passo 5

Agora, queremos encontrar a distância $ D $ entre os dois navios no tempo $ t $. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos no plano:
D
Substituindo as posições:
t

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
D = raiz256t^2 + ( -5 - 20t)^2
D = raiz256t^2 + 25 + 200t + 400t^2
D = raiz(256t^2 + 400t^2) + 200t + 25
D = raiz656t^2 + 200t + 25

Passo 7

Para encontrar a taxa de variação da distância $ \frac{dD}{dt} $, vamos derivar $ D $ em relação ao tempo $ t $.
Primeiro, reescrevemos $ D $ como:
dDdt
Derivando ambos os lados em relação a $ t $:
D
t

Passo 8

Agora, substituímos $ t = 0,5 $ horas na expressão para $ \frac{dD}{dt} $:
t = 0,5
dDdt
dDdtg|t=0,5 = 1312(0,5) + 2002raiz656(0,5)^2 + 200(0,5) + 25
dDdtg|t=0,5 = 656 + 2002raiz656 cdot 0,25 + 100 + 25
dDdtg|t=0,5 = 8562raiz164 + 100 + 25
dDdtg|t=0,5 = 8562raiz289
dDdtg|t=0,5 = 8562 cdot 17

Resposta

A taxa na qual a distância entre os navios está variando às 8 h e 30 min é aproximadamente $ 25,18 , km/h $.

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