Encontre os intervalos em que a função
é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar onde a função f(x)=−e{−3x}+e{−x} sobe ou desce. O conteúdo aqui é análise de monotonicidade via derivada e sinal da derivada.
Passo 2
Vamos calcular a derivada de f. Derivando termo a termo:
Passo 3
Precisamos achar os pontos críticos onde f’(x)=0. Como e^{-3x}>0 para todo x, basta zerar o fator (3−e^{2x}):
Passo 4
Agora analisamos o sinal de f’(x). Como e^{-3x} é sempre positivo, o sinal de f’(x) vem de (3−e^{2x}):
- Para x<\frac{\ln3}{2}, temos e^{2x}❤️, logo 3−e^{2x}>0 e f’(x)>0 (f cresce).
- Para x>\frac{\ln3}{2}, temos e^{2x}>3, logo 3−e^{2x}<0 e f’(x)<0 (f decresce).
Resposta
A função é estritamente crescente em (-∞, \frac{\ln3}{2}) e estritamente decrescente em (\frac{\ln3}{2}, +∞).