Encontre os intervalos em que a função f(x)=-e^-3 x+e^-x é estritamente crescente ou estritamente decrescente.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar onde a função f(x)=−e{−3x}+e{−x} sobe ou desce. O conteúdo aqui é análise de monotonicidade via derivada e sinal da derivada.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de f. Derivando termo a termo:
f'(x)=ddxl(-e^-3xr)+ddxl(e^-xr)=3e^-3x-e^-x

Passo 3

Precisamos achar os pontos críticos onde f’(x)=0. Como e^{-3x}>0 para todo x, basta zerar o fator (3−e^{2x}):
3-e^2x=0implies e^2x=3implies 2x=ln3implies x=ln32

Passo 4

Agora analisamos o sinal de f’(x). Como e^{-3x} é sempre positivo, o sinal de f’(x) vem de (3−e^{2x}):
  • Para x<\frac{\ln3}{2}, temos e^{2x}❤️, logo 3−e^{2x}>0 e f’(x)>0 (f cresce).
  • Para x>\frac{\ln3}{2}, temos e^{2x}>3, logo 3−e^{2x}<0 e f’(x)<0 (f decresce).

Resposta

A função é estritamente crescente em (-∞, \frac{\ln3}{2}) e estritamente decrescente em (\frac{\ln3}{2}, +∞).

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