Usando a Regra de L Hospital, calcule lim x 0^+(sen x)^tg x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0^+(sin x)^tan x usando a Regra de L’Hospital. O conteúdo envolvido é limite de forma indeterminada em exponencial, e vamos precisar reescrever a expressão na forma e^g(x) para aplicar a regra.

Passo 2

Primeiro, definimos g(x) = tan x cdot ln(sin x), pois
(sin x)^tan x = e^tan x cdot ln(sin x) = e^g(x)
Ao observar g(x) quando xto0^+, temos tan xto0 e ln(sin x)to-infty, ou seja, forma indeterminada 0cdot(-infty). Para usar L’Hospital, reescrevemos
g(x) = ln(sin x)cot x,
que agora é da forma -infty/infty).

Passo 3

Aplicamos a Regra de L’Hospital em
limxto0^+ ln(sin x)cot x
Derivada do numerador: (ln(sin x))' = cot x Derivada do denominador: (cot x)' = -csc^2 x Logo,
limxto0^+ g(x) = limxto0^+ cot x-csc^2 x = limxto0^+ l(-cot xsin^2 xr)
Como cot x = cos xsin x, isso vale
-cos xsin xsin^2 x = -cos xsin x xrightarrow[xto0] 0

Passo 4

Concluímos que g(x)to0, então
limxto0^+(sin x)^tan x = limxto0^+ e^g(x) = e^0 = 1

Resposta

1

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