Mostre que a área da parte do plano
que projeta sobre uma região
no plano
com área
é
.
Passo 1
No enunciado, a gente tem um plano dado por z = a x + b y + c e uma região D no plano x y com área A(D). O objetivo é mostrar que a área da parte desse plano que fica “acima” de D é um múltiplo de A(D), e esse múltiplo é √(1 + a² + b²). Vamos usar a fórmula de área de superfície de um gráfico.
Passo 2
A fórmula geral para a área de uma superfície definida por z = f(x,y) sobre uma região D é
Passo 3
Agora, no nosso caso temos f(x,y) = a x + b y + c. Vamos calcular as derivadas parciais:
e
.
Passo 4
Como
e
são constantes, a raiz dentro do integral também é constante:
. Então podemos tirar esse valor da integral: