Mostre que a área da parte do plano z=a x+b y+c que projeta sobre uma região D no plano x y com área A(D) é raiza^2+b^2+1.

Passo 1

No enunciado, a gente tem um plano dado por z = a x + b y + c e uma região D no plano x y com área A(D). O objetivo é mostrar que a área da parte desse plano que fica “acima” de D é um múltiplo de A(D), e esse múltiplo é √(1 + a² + b²). Vamos usar a fórmula de área de superfície de um gráfico.

Passo 2

A fórmula geral para a área de uma superfície definida por z = f(x,y) sobre uma região D é
S = integral duplaD raiz1 + l(fx(x,y)r)^2 + l(fy(x,y)r)^2,dA

Passo 3

Agora, no nosso caso temos f(x,y) = a x + b y + c. Vamos calcular as derivadas parciais: fx = partial zpartial x = a e fy = partial zpartial y = b.

Passo 4

Como fx e fy são constantes, a raiz dentro do integral também é constante: raiz1 + a^2 + b^2. Então podemos tirar esse valor da integral:
S = raiz1 + a^2 + b^2 ; integral duplaD dA = raiz1 + a^2 + b^2,A(D)

Resposta

raiz1 + a^2 + b^2,A(D)

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