Utilizando a diferencial, calcule um valor aproximado para raiz[4]17.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular uma aproximação de raiz[4]17 usando diferenciais. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente da aplicação de aproximações lineares. Para resolver isso, vamos precisar saber como usar a aproximação linear de uma função perto de um ponto conhecido.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos aproximar. Aqui, a função é $ f(x) = \sqrt[4]{x} $, que é a raiz quarta de f(x) = raiz[4]x .

Passo 3

Escolhemos um ponto próximo a 17 onde sabemos calcular a raiz quarta facilmente. Vamos usar x0 = 16 porque raiz[4]16 = 2.

Passo 4

Calculamos a derivada da função $ f(x) $. A derivada de $ \sqrt[4]{x} $ é:
f(x)

Passo 5

Avaliamo a derivada no ponto x0 = 16:
f'(16) = 14 times 16^3/4 = 14 times (2^4)^3/4 = 14 times 2^3 = 132

Passo 6

Usamos a fórmula de aproximação linear:
f(x) approx f(x0) + f'(x0)(x - x0)
Substituindo os valores:
raiz[4]17 approx 2 + 132(17 - 16) = 2 + 132 = 2,03125

Resposta

Uma aproximação para raiz[4]17 usando diferenciais é aproximadamente 2,03125.

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