Encontre a inversa de cada matriz:
$\left[\begin{array}{cc}-1 & 4 \\\\ -1 / 4 & 3\end{array}\right]$

O enunciado pede a inversa da matriz

A = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\[6pt] -\tfrac{1}{4} & 3 \end{pmatrix}.

Para resolver, usamos a fórmula da inversa de uma matriz

2\times2

:
se

A = \begin{pmatrix} a & b \\[3pt] c & d \end{pmatrix}

\det(A)\neq0

, então

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\[3pt] -c & a \end{pmatrix}.

]

Calcular o determinante de

A

. Aqui

a=-1

b=4

c=-\tfrac{1}{4}

d=3

. Logo

\det(A) = a\,d \;-\; b\,c = (-1)\cdot 3 \;-\; 4\cdot\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr) = -3 + 1 = -2.

Como

\det(A) = -2 \neq 0

, concluímos que

A

é invertível.

Aplicar a fórmula da inversa:

A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 3 & -4 \\[3pt] \tfrac{1}{4} & -1 \end{pmatrix}.

]

Multiplicar o escalar

\tfrac{1}{-2}

em cada entrada e simplificar:

A^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac{3}{2} & 2 \\[3pt] -\tfrac{1}{8} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.

]

A^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac{3}{2} & 2 \\[3pt] -\tfrac{1}{8} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.

]

Encontre a inversa de cada matriz: \left[\begin{array}{cc}-1 & 4 \\\\ -1 / 4 & 3\end{array}\right]