Resolva o sistema invertendo a matriz de coeficientes e usando o Teorema 1.6.2.
\left\{\begin{array}{c}x_{1}+x_{2}=2 \\\\ 5 x_{1}+6 x_{2}=9\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} x_{1}+x_{2}=2,\\\\ 5x_{1}+6x_{2}=9 \end{cases}
usando a inversão da matriz de coeficientes com base no Teorema 1.6.2, que diz que se \det(A)\neq0 então A é invertível e a solução é
\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}.

Passo 2

Identificamos a matriz de coeficientes A e o vetor de termos independentes \mathbf{b}:
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 5 & 6\end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}2 \\\\ 9\end{pmatrix}.
Pelo Teorema 1.6.2, se \det(A)\neq0 então podemos obter a solução por \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}.

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
\det(A) = 1\cdot6 - 5\cdot1 = 6 - 5 = 1.
Como \det(A)=1\neq0, A é invertível.

Passo 4

Para uma matriz 2\times2, a inversa é
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b\\[6pt] -c & a \end{pmatrix} \quad\text{onde }A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}.
Aqui a=1, b=1, c=5, d=6, e \det(A)=1, então
A^{-1} = \begin{pmatrix} 6 & -1\\\\ -5 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora multiplicamos A^{-1} por \mathbf{b}:
\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 6 & -1\\\\ -5 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\\ 9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6\cdot2 + (-1)\cdot9 \\[4pt] -5\cdot2 + 1\cdot9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 - 9 \\[4pt] -10 + 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\[4pt] -1 \end{pmatrix}.]

Resposta

\displaystyle x_{1}=3,\quad x_{2}=-1

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