Encontre a inversa de A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \operatorname{sen} \theta \\\\ -\operatorname{sen} \theta & \cos \theta\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A = \begin{pmatrix} \cos\theta & \operatorname{sen}\theta\\\\ -\operatorname{sen}\theta & \cos\theta \end{pmatrix}
e pede A^{-1}. Para isso, vamos usar o determinante de uma matriz 2\times2 e a fórmula geral da inversa nesse caso.

Passo 2

Seja
A = \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
então \det(A)=ad - bc. Aqui
a = \cos\theta,\quad b = \operatorname{sen}\theta,\quad c = -\operatorname{sen}\theta,\quad d = \cos\theta.
Logo,
\det(A) = \cos\theta\cdot\cos\theta \;-\;\bigl(\operatorname{sen}\theta\bigr)\bigl(-\operatorname{sen}\theta\bigr) = \cos^2\theta + \operatorname{sen}^2\theta = 1
e, portanto, A é invertível para todo \theta.

Passo 3

A fórmula da inversa de uma matriz 2\times2 é
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b\\\\ -c & a \end{pmatrix}.
Substituindo a,b,c,d e \det(A)=1, obtemos
A^{-1} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\operatorname{sen}\theta\\\ \operatorname{sen}\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\operatorname{sen}\theta\\\ \operatorname{sen}\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.

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