Mostre que se uma matriz quadrada A satisfaz A^{2}-3 A+I=0, entï i \frac{1}{2} \mathrm{o} A^{-1}=3 I-A.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz quadrada satisfazendo
A^{2}-3A+I=0.
Queremos usar essa relação para mostrar que A é invertível e que
A^{-1}=3I - A.

Passo 2

Da igualdade
A^{2}-3A+I=0
podemos reescrever isolando o termo I:
A^{2}-3A = -I.
Agora fatoramos A à esquerda:
A\bigl(A-3I\bigr) = -I.
Multiplicando ambos os lados por -1, obtemos
A\bigl(3I - A\bigr)=I.
Isso mostra diretamente que 3I - A é a inversa direita de A. Como A é quadrada, ter inversa direita implica também inversa à esquerda, logo
A^{-1}=3I - A.

Resposta

\displaystyle A^{-1}=3I - A.

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