Encontre a inversa da matriz abaixo (utilizando o método de inversão de matrizes):
[lll 1 & 0 & 2 1 & 1 & 4 2 & 2 & 4 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a inversa da matriz usando o método de inversão de matrizes. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com matrizes e suas inversas. Para resolver isso, vamos precisar usar operações de linha para transformar a matriz original na matriz identidade. Quando conseguirmos isso, a parte que começamos como a identidade vai se transformar na inversa da matriz original.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz original e ao lado dela colocar a matriz identidade. Vamos fazer isso porque o objetivo é transformar a matriz original na identidade usando operações de linha, e simultaneamente aplicar essas mesmas operações na identidade para obter a inversa.
[ccc|ccc 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 2 & 2 & 4 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Vamos começar a transformar o primeiro elemento da primeira coluna em 1 (o que já está feito) e zerar os elementos abaixo dele. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira linhas.
Nova Linha 2 = Linha 2 - Linha 1:
[ccc|ccc 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & -1 & 1 & 0 2 & 2 & 4 & 0 & 0 & 1 ]
Nova Linha 3 = Linha 3 - 2 * Linha 1:
[ccc|ccc 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & -1 & 1 & 0 0 & 2 & 0 & -2 & 0 & 1 ]

Passo 4

Agora, vamos transformar o segundo elemento da segunda coluna em 1 (já está 1) e zerar os elementos acima e abaixo dele. Para zerar o elemento abaixo, subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha.
Nova Linha 3 = Linha 3 - 2 * Linha 2:
[ccc|ccc 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & -4 & 0 & -2 & 1 ]

Passo 5

Vamos agora transformar o terceiro elemento da terceira coluna em 1. Para isso, dividimos a terceira linha por -4.
Nova Linha 3 = Linha 3 / (-4):
[ccc|ccc 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 12 & -14 ]

Passo 6

Agora, vamos zerar os elementos acima do terceiro pivô (ou seja, os elementos na terceira coluna nas primeiras e segundas linhas). Para isso, subtraímos 2 vezes a terceira linha da primeira linha e também 2 vezes a terceira linha da segunda linha.
Nova Linha 1 = Linha 1 - 2 * Linha 3:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 12 0 & 1 & 2 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 12 & -14 ]
Nova Linha 2 = Linha 2 - 2 * Linha 3:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 12 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 12 0 & 0 & 1 & 0 & 12 & -14 ]

Passo 7

Agora, a parte da esquerda da matriz aumentada é a identidade, então a parte da direita é a inversa da matriz original. Vamos escrever apenas a parte da direita como a matriz inversa.

Resposta

A inversa da matriz dada é:
[ccc 1 & -1 & 12 -1 & 0 & 12 0 & 12 & -14 ]

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