Encontre a inversa da matriz abaixo (utilizando o método de inversão de matrizes):
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a inversa da matriz usando o método de inversão de matrizes. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com matrizes e suas inversas. Para resolver isso, vamos precisar usar operações de linha para transformar a matriz original na matriz identidade. Quando conseguirmos isso, a parte que começamos como a identidade vai se transformar na inversa da matriz original.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz original e ao lado dela colocar a matriz identidade. Vamos fazer isso porque o objetivo é transformar a matriz original na identidade usando operações de linha, e simultaneamente aplicar essas mesmas operações na identidade para obter a inversa.
Passo 3
Vamos começar a transformar o primeiro elemento da primeira coluna em 1 (o que já está feito) e zerar os elementos abaixo dele. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira linhas.
Nova Linha 2 = Linha 2 - Linha 1:
Nova Linha 3 = Linha 3 - 2 * Linha 1:
Passo 4
Agora, vamos transformar o segundo elemento da segunda coluna em 1 (já está 1) e zerar os elementos acima e abaixo dele. Para zerar o elemento abaixo, subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha.
Nova Linha 3 = Linha 3 - 2 * Linha 2:
Passo 5
Vamos agora transformar o terceiro elemento da terceira coluna em 1. Para isso, dividimos a terceira linha por -4.
Nova Linha 3 = Linha 3 / (-4):
Passo 6
Agora, vamos zerar os elementos acima do terceiro pivô (ou seja, os elementos na terceira coluna nas primeiras e segundas linhas). Para isso, subtraímos 2 vezes a terceira linha da primeira linha e também 2 vezes a terceira linha da segunda linha.
Nova Linha 1 = Linha 1 - 2 * Linha 3:
Nova Linha 2 = Linha 2 - 2 * Linha 3:
Passo 7
Agora, a parte da esquerda da matriz aumentada é a identidade, então a parte da direita é a inversa da matriz original. Vamos escrever apenas a parte da direita como a matriz inversa.
Resposta
A inversa da matriz dada é: