(b) (3 pontos) Calcule (ou seja, simplifique o quanto possível)
lang<=A B, C Drang<=+lang<=A C, D Brang<=+lang<=A D, B Crang<=

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para simplificar a expressão envolvendo produtos internos de vetores:
lang<=AB, CDrang<= + lang<=AC, DBrang<= + lang<=AD, BCrang<=
Aqui, estamos trabalhando com produtos internos (ou escalares) de vetores e combinações lineares. Para simplificar, vamos usar as propriedades dos vetores e dos produtos internos.

Passo 2

Primeiro, lembramos que o vetor AB pode ser escrito como B - A, e assim por diante para os outros vetores. Vamos reescrever cada produto interno:
lang<= AB, CD rang<= = lang<= B - A, D - C rang<=
lang<= AC, DB rang<= = lang<= C - A, B - D rang<=
lang<= AD, BC rang<= = lang<= D - A, C - B rang<=

Passo 3

Agora, vamos expandir cada um desses produtos internos usando a propriedade distributiva do produto interno:
lang<= B - A, D - C rang<= = lang<= B, D rang<= - lang<= B, C rang<= - lang<= A, D rang<= + lang<= A, C rang<=
lang<= C - A, B - D rang<= = lang<= C, B rang<= - lang<= C, D rang<= - lang<= A, B rang<= + lang<= A, D rang<=
lang<= D - A, C - B rang<= = lang<= D, C rang<= - lang<= D, B rang<= - lang<= A, C rang<= + lang<= A, B rang<=

Passo 4

Vamos somar todas essas expressões:
(lang<= B, D rang<= - lang<= B, C rang<= - lang<= A, D rang<= + lang<= A, C rang<=) + (lang<= C, B rang<= - lang<= C, D rang<= - lang<= A, B rang<= + lang<= A, D rang<=) + (lang<= D, C rang<= - lang<= D, B rang<= - lang<= A, C rang<= + lang<= A, B rang<=)

Passo 5

Agora, vamos simplificar agrupando termos semelhantes:
lang<= B, D rang<= + lang<= C, B rang<= + lang<= D, C rang<= - lang<= B, C rang<= - lang<= C, D rang<= - lang<= D, B rang<= - lang<= A, D rang<= + lang<= A, C rang<= - lang<= A, B rang<= + lang<= A, D rang<= - lang<= A, C rang<= + lang<= A, B rang<=

Passo 6

Observamos que muitos termos se cancelam:
  • lang<= B, D rang<= cancela com - lang<= D, B rang<= (porque lang<= B, D rang<= = lang<= D, B rang<=)
  • lang<= C, B rang<= cancela com - lang<= B, C rang<=
  • lang<= D, C rang<= cancela com - lang<= C, D rang<=
  • - lang<= A, D rang<= cancela com + lang<= A, D rang<=
  • + lang<= A, C rang<= cancela com - lang<= A, C rang<=
  • - lang<= A, B rang<= cancela com + lang<= A, B rang<=

Resposta

Após simplificar, todos os termos se cancelam e a expressão final é:
0

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