Aqui, estamos trabalhando com produtos internos (ou escalares) de vetores e combinações lineares. Para simplificar, vamos usar as propriedades dos vetores e dos produtos internos.
Passo 2
Primeiro, lembramos que o vetor AB pode ser escrito como B - A, e assim por diante para os outros vetores. Vamos reescrever cada produto interno:
lang<= AB, CD rang<= = lang<= B - A, D - C rang<=
lang<= AC, DB rang<= = lang<= C - A, B - D rang<=
lang<= AD, BC rang<= = lang<= D - A, C - B rang<=
Passo 3
Agora, vamos expandir cada um desses produtos internos usando a propriedade distributiva do produto interno:
lang<= B - A, D - C rang<= = lang<= B, D rang<= - lang<= B, C rang<= - lang<= A, D rang<= + lang<= A, C rang<=
lang<= C - A, B - D rang<= = lang<= C, B rang<= - lang<= C, D rang<= - lang<= A, B rang<= + lang<= A, D rang<=
lang<= D - A, C - B rang<= = lang<= D, C rang<= - lang<= D, B rang<= - lang<= A, C rang<= + lang<= A, B rang<=
Passo 4
Vamos somar todas essas expressões:
(lang<= B, D rang<= - lang<= B, C rang<= - lang<= A, D rang<= + lang<= A, C rang<=) + (lang<= C, B rang<= - lang<= C, D rang<= - lang<= A, B rang<= + lang<= A, D rang<=) + (lang<= D, C rang<= - lang<= D, B rang<= - lang<= A, C rang<= + lang<= A, B rang<=)
lang<= B, D rang<= + lang<= C, B rang<= + lang<= D, C rang<= - lang<= B, C rang<= - lang<= C, D rang<= - lang<= D, B rang<= - lang<= A, D rang<= + lang<= A, C rang<= - lang<= A, B rang<= + lang<= A, D rang<= - lang<= A, C rang<= + lang<= A, B rang<=
Passo 6
Observamos que muitos termos se cancelam:
lang<= B, D rang<= cancela com - lang<= D, B rang<= (porque lang<= B, D rang<= = lang<= D, B rang<=)
lang<= C, B rang<= cancela com - lang<= B, C rang<=
lang<= D, C rang<= cancela com - lang<= C, D rang<=
- lang<= A, D rang<= cancela com + lang<= A, D rang<=
+ lang<= A, C rang<= cancela com - lang<= A, C rang<=
- lang<= A, B rang<= cancela com + lang<= A, B rang<=
Resposta
Após simplificar, todos os termos se cancelam e a expressão final é: