Dados os vetores no plano u=2 i-5 j e v=i+j, pede-se: o ângulo formado pelos vetores u e v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no plano: e . O objetivo é descobrir qual é o ângulo formado entre esses dois vetores. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar e as magnitudes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o ângulo entre dois vetores. A gente usa a seguinte relação:
cos(theta) = u cdot v||u|| times ||v||
Aqui, é o produto escalar dos vetores e , e e são as magnitudes (ou módulos) dos vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v = (2)(1) + (-5)(1) = 2 - 5 = -3 . Multiplicamos as componentes correspondentes dos vetores e somamos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as magnitudes dos vetores ||u|| = raiz2^2 + (-5)^2 = raiz4 + 25 = raiz29 e ||v|| = raiz1^2 + 1^2 = raiz1 + 1 = raiz2 .
Para :
Para :

Passo 5

Agora, substituímos os valores encontrados na fórmula do cosseno:
cos(theta) = -3raiz29 times raiz2 = -3raiz58

Passo 6

Para encontrar o ângulo theta = arccos(-3raiz58) , vamos tirar o arco cosseno (ou função inversa do cosseno) de theta approx arccos(-0,394) approx 113,2^circ :
Calculando isso, obtemos:

Resposta

O ângulo formado pelos vetores e é aproximadamente .

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