Encontre a inversa da matriz e E=[ccc2 & 0 & -1 1 & 0 & 0 1 & 2 & 2]3 times 3 de 3 maneiras distintas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a inversa da matriz ccc2 & 0 & -1 1 & 0 & 0 1 & 2 & 2. Para isso, vamos usar três métodos diferentes de calcular a inversa de uma matriz 3x3. Vamos precisar entender conceitos como determinante, matriz adjunta e operações com matrizes. Bora lá!

Passo 2

Primeiro Método: Usando a Matriz Adjugada e o Determinante
  1. Calcular o determinante de ccca & b & c d & e & f g & h & i:
    O determinante de uma matriz 3x3 det(E) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) é dado por:
    det(E) = 2(0 cdot 2 - 0 cdot 2) - 0(1 cdot 2 - 0 cdot 1) + (-1)(1 cdot 2 - 0 cdot 1) = 2(0) - 0(2) + (-1)(2) = -2
    Aplicando para nossa matriz:
    C11 = 0 & 0 2 & 2 = (0)(2) - (0)(2) = 0
  2. Calcular a matriz dos cofatores de E^-1 = 1det(E) cdot adj(E) :
    Para cada elemento da matriz, calculamos o menor complementar (determinante da submatriz 2x2) e aplicamos o sinal apropriado (+ ou -).
    Por exemplo, para o elemento E^-1 = -12 cdot adj(E) :
    Repetindo para todos os elementos, obtemos a matriz de cofatores.
  3. Transpor a matriz de cofatores para obter a adjunta:
    A adjunta é a transposta da matriz de cofatores.
  4. Multiplicar a adjunta pelo inverso do determinante:
    A inversa de é dada por:
    Com , fazemos:

Passo 3

Segundo Método: Usando a Regra de Cramer
  1. Calcular o determinante de E^-1ij = det(Eji)det(E) :
    Já vimos que .
  2. Calcular determinantes das matrizes substituindo as colunas por (matriz identidade):
    Para cada elemento da inversa, substituímos a coluna correspondente pela coluna de e calculamos o determinante. Por exemplo, para , substituímos a primeira coluna de pela primeira coluna de .
  3. Construir a matriz inversa usando os determinantes calculados:
    A inversa é formada pelos determinantes das matrizes ajustadas, divididos pelo determinante original:

Passo 4

Terceiro Método: Usando o Método de Gauss-Jordan (Eliminação Gaussiana)
  1. Montar a matriz aumentada [ccc|ccc 2 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 1 & 2 & 2 & 0 & 0 & 1 ] :
    [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & a & b & c 0 & 1 & 0 & d & e & f 0 & 0 & 1 & g & h & i ]
  2. Aplicar operações de linha para transformar na matriz identidade:
    Manipulamos as linhas usando adições e multiplicações para que a parte esquerda da matriz aumentada se torne a identidade.
  3. A parte direita da matriz aumentada se tornará :
    Após as operações, teremos algo assim:
    Onde é a inversa de .

Resposta

A inversa da matriz E^-1 = [ccc 0 & 0 & 12 -1 & 1 & 12 1 & -1 & 12 ] encontrada pelos três métodos é:

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