Especifique e calcule a distância focal, a medida do eixo maior, a medida do eixo menor, os vértices e os focos das equações que descrevem elipses. 4 x^2=16-4 y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa especificar e calcular a distância focal, o tamanho do eixo maior, o tamanho do eixo menor, os vértices e os focos da equação que descreve uma elipse. A equação que temos é . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre elipses. Vamos precisar transformar essa equação para a forma padrão da elipse e identificar os parâmetros principais.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para a forma padrão da elipse. A equação dada é:
4x^2 = 16 - 4y^2
Vamos trazer todos os termos para um lado:
4x^2 + 4y^2 = 16
Agora, dividimos todos os termos por 16 para simplificar:
4x^216 + 4y^216 = 1
O que simplifica para:
x^24 + y^24 = 1

Passo 3

Agora, a equação está na forma padrão da elipse:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Onde:
  • x^24 + y^24 = 1 é o semi-eixo maior
  • a = 2 e b = 2 é o semi-eixo menor
Comparando com nossa equação:
Vemos que e , então:

Passo 4

Legal, agora vamos identificar os eixos da elipse:
  • Eixo maior: é o eixo mais longo da elipse. No nosso caso, como , ambos os eixos têm o mesmo comprimento. Isso na verdade indica que a nossa “elipse” é um círculo.
  • Eixo menor: também tem comprimento 4, igual ao eixo maior.
Então, o comprimento do eixo maior é unidades, e o comprimento do eixo menor é unidades.

Passo 5

Agora, vamos determinar os vértices e os focos. Para uma elipse, os vértices estão localizados a uma distância c = raiz2^2 - 2^2 = raiz4 - 4 = raiz0 = 0 do centro ao longo do eixo maior, e os focos estão a uma distância do centro, onde .
No nosso caso:
Isso significa que os focos coincidem no centro da elipse.

Passo 6

Conclusão:
  • Distância focal: unidades
  • Eixo maior: 4 unidades
  • Eixo menor: 4 unidades
  • Vértices: Como a “elipse” é um círculo, os vértices estão em todos os pontos a 2 unidades do centro. Por exemplo, , , ,
  • Focos: Ambos os focos estão no centro, que assumimos ser

Resposta

A elipse definida pela equação possui:
  • Distância focal: 0 unidades
  • Medida do eixo maior: 4 unidades
  • Medida do eixo menor: 4 unidades
  • Vértices: , , ,
  • Focos:

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