Se , determine os valores de a, b e c, de modo que essa matriz seja simétrica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz S de ordem 3 times 3 e queremos encontrar os valores de a, b e c que fazem essa matriz ser simétrica. Matriz simétrica é aquela onde, basicamente, se a gente espelha a matriz na diagonal principal, ela continua igual. Para isso, precisamos que o elemento na posição (i,j) seja igual ao elemento na posição (j,i) para todo i e j. Vamos precisar usar isso e resolver algumas equações para encontrar a, b e c.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz S que foi dada:
S = 2 & a - 2b + c & 2a + b + c 3 & 5 & a + c 0 & -2 & 7
Passo 3
Para a matriz ser simétrica, precisamos que:
O elemento (1,2) seja igual ao elemento (2,1).
O elemento (1,3) seja igual ao elemento (3,1).
O elemento (2,3) seja igual ao elemento (3,2).
Vamos escrever essas condições:
a - 2b + c = 3
2a + b + c = 0
a + c = -2
Passo 4
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
a - 2b + c = 3 2a + b + c = 0 a + c = -2
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da terceira equação, podemos isolar uma variável. Vamos isolar a:
a = -2 - c
Passo 5
Agora que temos a em termos de c, vamos substituir isso nas duas primeiras equações para eliminar a:
Substituindo na primeira equação:
(-2 - c) - 2b + c = 3 -2 - c - 2b + c = 3 -2 - 2b = 3 -2b = 5 b = -52
Substituindo na segunda equação:
2(-2 - c) + b + c = 0 -4 - 2c + b + c = 0 -4 - c + b = 0 b - c = 4
Já sabemos que b = -52, então:
-52 - c = 4 -c = 4 + 52 -c = 132 c = -132
Passo 6
Agora que temos c, vamos voltar à expressão que encontramos para a:
a = -2 - c = -2 - (-132) = -2 + 132 = 92
Resposta
Os valores que fazem a matriz S ser simétrica são: