Se S=[ccc2 & a-2 b+c & 2 a+b+c 3 & 5 & a+c 0 & -2 & 7]3 times 3, determine os valores de a, b e c, de modo que essa matriz seja simétrica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz S de ordem 3 times 3 e queremos encontrar os valores de a, b e c que fazem essa matriz ser simétrica. Matriz simétrica é aquela onde, basicamente, se a gente espelha a matriz na diagonal principal, ela continua igual. Para isso, precisamos que o elemento na posição (i,j) seja igual ao elemento na posição (j,i) para todo i e j. Vamos precisar usar isso e resolver algumas equações para encontrar a, b e c.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz S que foi dada:
S = 2 & a - 2b + c & 2a + b + c 3 & 5 & a + c 0 & -2 & 7

Passo 3

Para a matriz ser simétrica, precisamos que:
  1. O elemento (1,2) seja igual ao elemento (2,1).
  2. O elemento (1,3) seja igual ao elemento (3,1).
  3. O elemento (2,3) seja igual ao elemento (3,2).
Vamos escrever essas condições:
  1. a - 2b + c = 3
  2. 2a + b + c = 0
  3. a + c = -2

Passo 4

Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
a - 2b + c = 3 2a + b + c = 0 a + c = -2
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da terceira equação, podemos isolar uma variável. Vamos isolar a:
a = -2 - c

Passo 5

Agora que temos a em termos de c, vamos substituir isso nas duas primeiras equações para eliminar a:
  1. Substituindo na primeira equação:
(-2 - c) - 2b + c = 3 -2 - c - 2b + c = 3 -2 - 2b = 3 -2b = 5 b = -52
  1. Substituindo na segunda equação:
2(-2 - c) + b + c = 0 -4 - 2c + b + c = 0 -4 - c + b = 0 b - c = 4
Já sabemos que b = -52, então:
-52 - c = 4 -c = 4 + 52 -c = 132 c = -132

Passo 6

Agora que temos c, vamos voltar à expressão que encontramos para a:
a = -2 - c = -2 - (-132) = -2 + 132 = 92

Resposta

Os valores que fazem a matriz S ser simétrica são:
a = 92, b = -52, c = -132

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