Encontre a inversa da matriz A resolvendo o sistema A X=I se:
A=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre a inversa da matriz A resolvendo o sistema A X = I". As informações dadas são:
  • A matriz A é
A=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
  • A incógnita é a matriz X tal que
A X = I,
onde I é a matriz identidade de ordem 2:
I=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
O que preciso devolver é a matriz X que satisfaz essa igualdade (ou seja, a inversa de A).]

Passo 2

Estratégia de solução pedida pelo enunciado: resolver o sistema matricial A X = I. Vou escrever X com entradas desconhecidas e usar a propriedade de que as colunas de X são as soluções dos sistemas lineares A x = e_1 e A x = e_2, onde e_1 e e_2 são os vetores coluna da base canônica:
e_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad e_2=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Então basta resolver dois sistemas 2\times2.]

Passo 3

Escrevo X com incógnitas:
X=\begin{pmatrix}x_{11} & x_{12} \\[4pt] x_{21} & x_{22}\end{pmatrix}.
A igualdade A X = I equivale a dizer que a primeira coluna de X (que chamarei de c_1) satisfaz A c_1 = e_1 e a segunda coluna c_2 satisfaz A c_2 = e_2. Vou resolver primeiro A c_1 = e_1.]

Passo 4

Se c_1=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}\), o produto \(A c_1\) dá o sistema linear (feito multiplicando linhas de \(A\) por entradas de \(c_1\)): \[\begin{cases} 2x + 1y = 1,\\[4pt] 1x + 1y = 0. \end{cases}
Explicando a técnica de resolução: para sistemas 2\times2\] é comum eliminar uma variável subtraindo as equações. Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos: \[(2x-x) + (y-y) = 1-0 \quad\Rightarrow\quad x = 1.\] Substituindo \(x=1 em x+y=0 obtemos
1 + y = 0 \quad\Rightarrow\quad y = -1.
Portanto a primeira coluna é
c_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora resolvo A c_2 = e_2\). Se \(c_2=\begin{pmatrix}u\\[4pt]v\end{pmatrix}\), o sistema é: \[\begin{cases} 2u + 1v = 0,\\[4pt] 1u + 1v = 1. \end{cases}
Repito a técnica de eliminar: subtraindo a segunda equação da primeira:
(2u-u) + (v-v) = 0-1 \quad\Rightarrow\quad u = -1.
Substituindo u=-1\] em \(u+v=1 obtemos
-1 + v = 1 \quad\Rightarrow\quad v = 2.
Assim a segunda coluna é
c_2=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora já temos as duas colunas de X. Ascolunas são c_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} e c_2=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\end{pmatrix}. Montando a matriz X a partir dessas colunas, obtemos a candidata para A^{-1}.]

Passo 7

Breve verificação (importante na prova): multiplicar A pela matriz obtida deve dar I. Sem calcular toda a multiplicação passo a passo, nota-se que o determinante de A é
\det(A)=2\cdot 1 - 1\cdot 1 = 1 \neq 0,
logo A é invertível e a inversa é única. Os valores que encontramos para as colunas estão consistentes com \det(A)=1 e com a solução direta dos dois sistemas, portanto são corretos.

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix}.]

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