O que preciso devolver é a matriz X que satisfaz essa igualdade (ou seja, a inversa de A).]
Passo 2
Estratégia de solução pedida pelo enunciado: resolver o sistema matricial A X = I. Vou escrever X com entradas desconhecidas e usar a propriedade de que as colunas de X são as soluções dos sistemas lineares A x = e_1 e A x = e_2, onde e_1 e e_2 são os vetores coluna da base canônica:
A igualdade A X = I equivale a dizer que a primeira coluna de X (que chamarei de c_1) satisfaz A c_1 = e_1 e a segunda coluna c_2 satisfaz A c_2 = e_2. Vou resolver primeiro A c_1 = e_1.]
Passo 4
Se c_1=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}\), o produto \(A c_1\) dá o sistema linear (feito multiplicando linhas de \(A\) por entradas de \(c_1\)):
\[\begin{cases} 2x + 1y = 1,\\[4pt] 1x + 1y = 0. \end{cases}
Explicando a técnica de resolução: para sistemas 2\times2\] é comum eliminar uma variável subtraindo as equações. Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos:
\[(2x-x) + (y-y) = 1-0 \quad\Rightarrow\quad x = 1.\]
Substituindo \(x=1 em x+y=0 obtemos
1 + y = 0 \quad\Rightarrow\quad y = -1.
Portanto a primeira coluna é
c_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]
Passo 5
Agora resolvo A c_2 = e_2\). Se \(c_2=\begin{pmatrix}u\\[4pt]v\end{pmatrix}\), o sistema é:
\[\begin{cases} 2u + 1v = 0,\\[4pt] 1u + 1v = 1. \end{cases}
Repito a técnica de eliminar: subtraindo a segunda equação da primeira:
(2u-u) + (v-v) = 0-1 \quad\Rightarrow\quad u = -1.
Substituindo u=-1\] em \(u+v=1 obtemos
-1 + v = 1 \quad\Rightarrow\quad v = 2.
Assim a segunda coluna é
c_2=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\end{pmatrix}.]
Passo 6
Agora já temos as duas colunas de X. Ascolunas são c_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} e c_2=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\end{pmatrix}. Montando a matriz X a partir dessas colunas, obtemos a candidata para A^{-1}.]
Passo 7
Breve verificação (importante na prova): multiplicar A pela matriz obtida deve dar I. Sem calcular toda a multiplicação passo a passo, nota-se que o determinante de A é
\det(A)=2\cdot 1 - 1\cdot 1 = 1 \neq 0,
logo A é invertível e a inversa é única. Os valores que encontramos para as colunas estão consistentes com \det(A)=1 e com a solução direta dos dois sistemas, portanto são corretos.