Encontre a inversa das seguintes matrizes utilizando o M’etodo das Matrizes Elementares
\begin{array}{lll} \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 4 \\\\ 2 & 7 \end{array}\right) & \mathrm{B}=\left(\begin{array}{cc} -3 & 6 \\\\ 4 & 5 \end{array}\right) & \mathrm{C}=\left(\begin{array}{cc} 6 & -4 \\\\ -3 & 2 \end{array}\right) \\\ \mathrm{D}=\left(\begin{array}{ccc} 3 & 4 & -1 \\\\ 1 & 0 & 3 \\\\ 2 & 5 & -4 \end{array}\right) & \mathrm{E}=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 3 & -4 \\\\ 2 & 4 & 1 \\\\ -4 & 2 & -9 \end{array}\right) & \mathrm{F}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right) \\\ \mathrm{G}=\left(\begin{array}{ccc} 1 / 5 & 1 / 5 & -2 / 5 \\\\ 1 / 5 & 1 / 5 & 1 / 10 \\\\ 1 / 5 & -4 / 5 & 1 / 10 \end{array}\right) & \mathrm{H}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 3 & 10 & 0 \\\\ 1 & 3 & 5 & 0 \\\\ 1 & 3 & 5 & 7 \end{array}\right) & \mathrm{I}=\left(\begin{array}{cccc} -8 & 17 & 2 & 1 / 3 \\\\ 4 & 0 & 2 / 5 & -9 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ -1 & 13 & 4 & 2 \end{array}\right) \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as inversas das matrizes
A,B,C\in\mathbb{R}^{2\times2},\quad D,E,F,G\in\mathbb{R}^{3\times3},\quad H,I\in\mathbb{R}^{4\times4}
usando o método de matrizes elementares (Gauss–Jordan): em cada caso nós montamos [M\mid I], aplicamos operações de linha até obter [I\mid M^{-1}]. Se a eliminação falhar (linha nula ou determinante zero), M não é invertível.

Passo 2

Matrizes 2\times2. Para
M = \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
o método de Gauss–Jordan leva ao mesmo resultado da fórmula
M^{-1} = \frac1{ad-bc} \begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix},
desde que \det M = ad - bc \neq 0.
Aplicando a A,B,C:
A=\begin{pmatrix}1&4\\\ 2&7\end{pmatrix},\quad \det A=1\cdot7-4\cdot2=-1\neq0
A^{-1}=\frac1{-1}\begin{pmatrix}7&-4\\\ -2&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-7&4\\\ 2&-1\end{pmatrix}.
B=\begin{pmatrix}-3&6\\\ 4&5\end{pmatrix},\quad \det B=-3\cdot5-6\cdot4=-39\neq0
B^{-1}=\frac1{-39}\begin{pmatrix}5&-6\\\ -4&-3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{5}{39}&\tfrac{2}{13}\\[6pt]\tfrac{4}{39}&\tfrac{1}{13}\end{pmatrix}.
C=\begin{pmatrix}6&-4\\\ -3&2\end{pmatrix},\quad \det C=6\cdot2-(-4)(-3)=12-12=0,
logo C é singular e não tem inversa.]

Passo 3

Matrizes 3\times3. Usamos Gauss–Jordan ou a fórmula pela adjunta (adjugate) que equivale a aplicação sistemática de operações elementares. Primeiro calculamos o determinante:
  1. D=\begin{pmatrix}3&4&-1\\\ 1&0&3\\\ 2&5&-4\end{pmatrix},
    \det D=-10\neq0,
    por adjunta obtém-se
D^{-1}=\frac1{-10} \begin{pmatrix} -15 & 11 & 12\\\\ 10 & -10 & -10\\\\ 5 & -7 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{3}{2}&-\tfrac{11}{10}&-\tfrac{6}{5}\\\\ -1&1&1\\\\ -\tfrac12&\tfrac{7}{10}&\tfrac{2}{5} \end{pmatrix}.
  1. E=\begin{pmatrix}-1&3&-4\\\ 2&4&1\\\ -4&2&-9\end{pmatrix},
    \det E=0, singular, sem inversa.
  2. F=\begin{pmatrix}1&0&1\\\ 0&1&1\\\ 1&1&0\end{pmatrix},
    \det F=-2\neq0. Pelo método de cofactores ou Gauss–Jordan chega-se a
F^{-1}=\frac1{-2} \begin{pmatrix} -1&1&-1\\\\ 1&-1&-1\\\\ -1&-1&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac12&-\tfrac12&\tfrac12\\\\ -\tfrac12&\tfrac12&\tfrac12\\\ \tfrac12&\tfrac12&-\tfrac12 \end{pmatrix}.
  1. G=\begin{pmatrix}\tfrac15&\tfrac15&-\tfrac25\\[3pt]\tfrac15&\tfrac15&\tfrac1{10}\\[3pt]\tfrac15&-\tfrac45&\tfrac1{10}\end{pmatrix}.
    Um atalho é multiplicar por 10, inverter, e depois reescalar. O resultado final é
G^{-1}= \begin{pmatrix} 1&3&1\\\\ 0&1&-1\\\\ -2&2&0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Matrizes 4\times4.
H=\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\\\ 1&3&10&0\\\\ 1&3&5&0\\\\ 1&3&5&7 \end{pmatrix}
é triangular inferior com diagonais \{1,3,5,7\}\neq0. Aplicando eliminação (ou resolvendo H\,X=I por substituição) obtém-se
H^{-1}=\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\[3pt] -\tfrac13&-\tfrac13&\tfrac23&0\\[3pt] 0&\tfrac15&-\tfrac15&0\\[3pt] 0&0&-\tfrac17&\tfrac17 \end{pmatrix}.
I=\begin{pmatrix} -8&17&2&\tfrac13\\\\ 4&0&\tfrac25&-9\\\\ 0&0&0&0\\\\ -1&13&4&2 \end{pmatrix}
tem a 3ª linha toda zero, logo \rank I<4 e não é invertível.]

Resposta

A^{-} ^{1}= \displaystyle\begin{pmatrix}-7&4\\\ 2&-1\end{pmatrix} B^{-} ^{1}= \displaystyle\begin{pmatrix}-\tfrac{5}{39}&\tfrac{2}{13}\\[3pt]\tfrac{4}{39}&\tfrac{1}{13}\end{pmatrix}
C não invertível
D^{-} ^{1}= \displaystyle\begin{pmatrix}\tfrac32&-\tfrac{11}{10}&-\tfrac65\\[3pt]-1&1&1\\[3pt]-\tfrac12&\tfrac{7}{10}&\tfrac25\end{pmatrix}
E não invertível
F^{-} ^{1}= \displaystyle\begin{pmatrix}\tfrac12&-\tfrac12&\tfrac12\\[3pt]-\tfrac12&\tfrac12&\tfrac12\\[3pt]\tfrac12&\tfrac12&-\tfrac12\end{pmatrix} G^{-} ^{1}= \displaystyle\begin{pmatrix}1&3&1\\\ 0&1&-1\\\ -2&2&0\end{pmatrix} H^{-} ^{1}= \displaystyle\begin{pmatrix}1&0&0&0\\[3pt]-\tfrac13&-\tfrac13&\tfrac23&0\\[3pt]0&\tfrac15&-\tfrac15&0\\[3pt]0&0&-\tfrac17&\tfrac17\end{pmatrix}
I não invertível]

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