encontre a inversa da transformada de Laplace das funções
F(s)=s^2-4 s-16s^3+2 s^2-16

Passo 1

O enunciado pede f(t)=L^-1F(s) para
F(s)=s^2-4s-16s^3+2s^2-16
O conteúdo é transformada inversa de Laplace usando fatoração do denominador e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador
s^3+2s^2-16
Como s=2 é raiz (verificando 8+8-16=0), dividimos por s-2 e obtemos
s^3+2s^2-16=(s-2)(s^2+4s+8)

Passo 3

Escrevemos a decomposição em frações parciais
s^2-4s-16(s-2)(s^2+4s+8) =As-2+Bs+Cs^2+4s+8
Multiplicando ambos os lados por (s-2)(s^2+4s+8) e igualando numeradores, teremos
s^2-4s-16 =Al(s^2+4s+8r)+(Bs+C)(s-2)

Passo 4

Expandindo e comparando coeficientes de s^2, s e termo constante, resolve-se o sistema e encontra-se
A=-1, B=2, C=4
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F(s)=-1s-2+2s+4s^2+4s+8 =-1s-2+2(s+2)(s+2)^2+2^2

Passo 5

Aplicando a transformada inversa de Laplace:
L^-1ltfrac1s-2r=e^2t, L^-1ltfracs+2(s+2)^2+2^2r=e^-2tcos(2t)
Portanto
f(t)=-e^2t+2,e^-2tcos(2t)

Resposta

f(t)=-e^2t+2,e^-2tcos(2t).

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