encontre a transformada de Laplace das funções, usando a de nição.
f(t)=cos ^2(a t) , t >= 0

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)=cos^2(a t), t>=0
usando a definição
Lf(t)(s)=integral0^inftye^-s tf(t),dt
Vamos precisar também da identidade trigonométrica para cos^2 e das transformadas básicas de 1 e cos(omega t).

Passo 2

Aplicamos a identidade
cos^2(x)=1+cos(2x)2
com x=a t. Assim
cos^2(a t)=12+12cos(2a t)

Passo 3

Substituindo em Lf(t)(s) e dividindo a integral, obtemos
Lcos^2(a t)(s) =integral0^inftye^-s tl(tfrac12+tfrac12cos(2a t)r),dt =12integral0^inftye^-s t,dt +12integral0^inftye^-s tcos(2a t),dt

Passo 4

A primeira integral é
integral0^inftye^-s t,dt =l[-tfrac1se^-s tr]0^infty =1s,
válida para Re(s)>0.

Passo 5

A segunda integral é a transformada de cos(2a t). Sabe-se (ou se demonstra por definição/integr. por partes) que
integral0^inftye^-s tcos(omega t),dt =ss^2+omega^2,
então, com omega=2a,
integral0^inftye^-s tcos(2a t),dt =ss^2+(2a)^2 =ss^2+4a^2

Passo 6

Reunindo os resultados e multiplicando por tfrac12, temos
Lcos^2(a t)(s) =12cdot1s+12cdotss^2+4a^2 =12s+s2l(s^2+4a^2r)
Para simplificar numa única fração, fazemos
12s=s^2+4a^22s(s^2+4a^2), s2(s^2+4a^2)=s^22s(s^2+4a^2),
logo a soma é
s^2+4a^2+s^22s(s^2+4a^2) =2s^2+4a^22s(s^2+4a^2) =s^2+2a^2s,(s^2+4a^2)

Resposta

boxed Lcos^2(a t)(s) =s^2+2a^2s,(s^2+4a^2), Re(s)>0

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