Nos problemas 3-8, uma equação não homogênea e uma solução particular são dadas. Ache uma solução geral para a equação.
y^prime prime-y=t, yp(t)=-t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea de segunda ordem
y'' - y = t
dado que uma solução particular é
yp(t) = -t
O que vamos precisar é (1) resolver a equação homogênea associada e (2) somar a essa solução particular, pois a solução geral de uma equação linear é a soma da solução geral da parte homogênea com uma solução particular.

Passo 2

Consideramos a equação homogênea
y'' - y = 0
Escrevendo a equação característica, temos
r^2 - 1 = 0,
cuja solução é
r = pm 1
Logo, a solução geral da parte homogênea é
yh(t) = C1 e^t + C2 e^-t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

A solução geral da equação não homogênea é dada por
y(t) = yh(t) + yp(t)
Substituindo yh e yp, obtemos
y(t) = C1 e^t + C2 e^-t - t

Resposta

y(t) = C1 e^t + C2 e^-t - t

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