use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado:
y^prime prime-y^prime-2 y=4 t^2 , y(0)=1 , y^prime(0)=4

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y'' - y' - 2y = 4t^2, y(0)=1, y'(0)=4
e pede a solução y(t). O conteúdo principal é o uso da transformada de Laplace, em particular as fórmulas
Ly'(s)=sY(s)-y(0), Ly''(s)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)
e a transformada de um polinômio em t.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação. Denotando Y(s)=Ly(t)(s), temos
Ly''=s^2Y(s)-scdot1-4, Ly'=sY(s)-1, Ly=Y(s),
e
L4t^2=4cdot2!s^3=8s^3
Logo a transformada da EDO é
l(s^2Y(s)-s-4r);-;l(sY(s)-1r);-;2Y(s) ;=;8s^3

Passo 3

Reagrupando termos em Y(s) e simplificando os termos independentes, obtemos
(s^2 - s -2),Y(s);-;(s+3);=;8s^3,
de onde
Y(s) =dfrac8s^3 + (s+3)s^2 - s -2 =(s+3)s^3 + 8s^3,(s^2 - s -2) =s^4 + 3s^3 +8s^3,(s-2)(s+1)

Passo 4

Para inverter a transformada, decompondo em frações parciais, escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
Da última equação vem , , e finalmente , .

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
L^-1ltfrac2s-2r=2e^2t, L^-1ltfrac2s+1r=2e^-t, L^-1ltfrac-3sr=-3,
L^-1ltfrac2s^2r=2t, L^-1ltfrac-4s^3r=-4cdott^22=-2t^2
Somando tudo, resulta
y(t)=2e^2t+2e^-t-3+2t-2t^2

Resposta

y(t)=2e^2t+2e^-t-2t^2+2t-3

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