use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado:
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
e pede a solução
. O conteúdo principal é o uso da transformada de Laplace, em particular as fórmulas
e a transformada de um polinômio em
.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação. Denotando
, temos
e
Logo a transformada da EDO é
Passo 3
Reagrupando termos em
e simplificando os termos independentes, obtemos
de onde
Passo 4
Para inverter a transformada, decompondo em frações parciais, escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
Da última equação vem ,
, e finalmente
,
.
Passo 5
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
Somando tudo, resulta