Encontre as inversas das matrizes.
[ccccc1 & 0 & 0 & cdots & 0 1 & 2 & 0 & & 0 1 & 2 & 3 & & 0 vdots & & & ddots & vdots 1 & 2 & 3 & cdots & n]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz quadrada
Note que igual a sempre que . Para resolver, vamos usar fatoração em matrizes triangulares cuja inversa é fácil de obter.

Passo 2

Defina a matriz
ou seja, por
Então, para temos
e para aparece zero. Logo
Sabemos que é unitriangular inferior, logo sua inversa também é unitriangular inferior, com
e zeros nos demais postos. A inversa de é a diagonal com
Como , temos

Passo 3

Para escrever explicitly A^-1=(bij), note que
bij=sumk=1^n (D^-1)ik,(L^-1)kj =1i,(L^-1)ij
Como (L^-1)ijneq0 só quando i=j (valendo 1) ou quando i=j+1 (valendo -1), concluímos:
bii=1i, bi,i-1=-1i(i=2,dots,n),
e todos os outros bij valem zero.

Resposta

A matriz inversa A^-1=(bij) é triangular inferior com
bii=1i, bi,i-1=-1i(i=2,dots,n),
e bij=0 nos demais casos.

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