Calcule os seguintes determinantes:
|ccccc0 & 0 & 0 & 0 & -3 0 & 0 & 0 & -4 & 0 0 & 0 & -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 & 0 5 & 0 & 0 & 1 & 0|;

Passo 1

O enunciado pede o valor do determinante da matriz
A= 0 & 0 & 0 & 0 & -3 0 & 0 & 0 & -4 & 0 0 & 0 & -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 & 0 5 & 0 & 0 & 1 & 0
O conteúdo para resolver é o desenvolvimento de Laplace (expansão por cofatores), aproveitando que a matriz é muito esparsa (vários zeros).

Passo 2

Expandimos det(A) pela primeira linha; o único elemento não-nulo é a1,5=-3. Logo,
det(A) =sumj=1^5(-1)^1+ja1jdet(M1j) =(-1)^1+5(-3)det(M15) =-3det(M15),
onde M15 é a matriz obtida de A eliminando linha 1 e coluna 5:
M15= 0 & 0 & 0 & -4 0 & 0 & -1 & 0 0 & 2 & 0 & 0 5 & 0 & 0 & 1

Passo 3

Para det(M15) usamos expansão por cofatores na sua primeira linha; só o elemento m1,4=-4 é não-nulo:
det(M15) =sumj=1^4(-1)^1+jm1jdet(N1j) =(-1)^1+4(-4)det(N14) =4det(N),
onde N=N14 é o menor 3times3 que sobra ao tirar linha 1 e coluna 4 de M15:
N= 0 & 0 & -1 0 & 2 & 0 5 & 0 & 0

Passo 4

Calculamos det(N) novamente por expansão na primeira linha (único termo não-nulo n1,3=-1):
det(N) =sumj=1^3(-1)^1+jn1jdet(P1j) =(-1)^1+3(-1)det0 & 25 & 0 =1cdot(-1)l(0cdot0-2cdot5r) =10
Portanto,
det(M15)=4cdot10=40
e
det(A)=-3cdot40=-120.

Resposta

-120

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