Encontre, nos itens abaixo, a famália de primitivas de cada função indicada. Justifique sua resposta à luz da teoria apresentada em sala de aula.
f(x)=ln (x)

Passo 1

A questão pede para encontrar a família de primitivas de f(x)=ln(x). O conteúdo aqui é antiderivadas e vamos usar integração por partes, técnica vista em sala.

Passo 2

Uma primitiva de f(x) é uma função F(x) que satisfaz F'(x)=f(x). A fórmula de integração por partes diz:
integral u,dv = u,v - integral v,du
e é muito útil quando temos um produto de funções.

Passo 3

Para calcular integral ln(x),dx, escolhemos
u=ln(x)
e
dv=dx.
Então
du=1x,dx
e
v=x.
Aplicando integração por partes:
integral ln(x),dx = xln(x) - integral x cdot 1x,dx = xln(x) - integral 1,dx

Passo 4

A integral remanescente é
integral 1,dx = x
Portanto obtemos
integral ln(x),dx = xln(x) - x + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

A família de primitivas de f(x)=ln(x) é xln(x) - x + C.

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