Encontre, usando o método de integração de substituição trigonométrica, as integrais indefinidas:
integral raiza^2-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral raiza^2-x^2,dx usando substituição trigonométrica. Vamos precisar lembrar da substituição para eliminar a raiz quadrada e das identidades de ângulo duplo.

Passo 2

Definimos a substituição trigonométrica
x = asintheta
Dessa forma
,dx = acostheta,dtheta
e
raiza^2-x^2 = raiza^2-a^2sin^2theta = acostheta
Logo a integral vira
integral raiza^2-x^2,dx = integral acostheta;(acostheta,dtheta) = integral a^2cos^2theta,dtheta

Passo 3

Para integrar integral a^2cos^2theta,dtheta, usamos a identidade de ângulo duplo
cos^2theta = 1+cos2theta2
Então
integral a^2cos^2theta,dtheta = a^2integral 1+cos2theta2,dtheta = a^22integral(1+cos2theta),dtheta = a^22l(theta + sin2theta2r) + C

Passo 4

Para voltar à variável x, lembramos que theta = arcsin(x/a), portanto
sintheta = xa, costheta = raiza^2-x^2a
Substituindo em
a^22theta + a^22sinthetacostheta + C e simplificando, chegamos à expressão em x.

Resposta

x2raiza^2-x^2 + a^22arcsin!l(tfracxar) + C

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