Encontre, usando o método de integração de substituição trigonométrica, as integrais indefinidas:
integral raiz2024+x^2 d x

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a integral integral raiz2024 + x^2,dx. O assunto é integração por substituição trigonométrica para expressões do tipo raiza^2 + x^2, e vamos usar a substituição x = atantheta com a = raiz2024.

Passo 2

Aplicando a substituição definimos
x = atantheta, dx = asec^2theta,dtheta, a = raiz2024
Além disso,
raiz2024 + x^2 = raiza^2 + a^2tan^2theta = asectheta

Passo 3

Substituindo essas expressões na integral original obtemos
integral raiz2024 + x^2,dx = integral asectheta cdot asec^2theta,dtheta = a^2 integral sec^3theta,dtheta
Para a parte integral sec^3theta,dtheta usamos a antiderivada conhecida
integral sec^3theta,dtheta = 12l(secthetatantheta + ln|sectheta + tantheta|r) + C

Passo 4

Voltando à variável x, sabemos que
tantheta = xa, sectheta = raiza^2 + x^2a
Dessa forma
secthetatantheta = xraiza^2 + x^2a^2, sectheta + tantheta = raiza^2 + x^2 + xa
Substituindo na antiderivada e absorvendo constantes logarítmicas em C, reconhecemos a forma geral da primitiva de raiza^2 + x^2:
x2raiza^2 + x^2 + a^22lnl|x + raiza^2 + x^2r| + C

Passo 5

Por fim, basta fazer a^2 = 2024 na expressão padrão para obter a antiderivada pedida.

Resposta

x2raiz2024 + x^2 + 20242lnl|x + raiz2024 + x^2r| + C

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