Encontre o tipo de indeterminação e calcule os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}(1+\cos (x))^{3 \operatorname{sec} (x)}

Passo 1

O enunciado pede
L = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (1+\cos(x))^{3\operatorname{sec}(x)}.
Aqui a base 1+\cos(x) tende a 1 e o expoente 3\operatorname{sec}(x) tende a \pm\infty, pois \operatorname{sec}(x)=1/\cos(x) explode quando x\to\pi/2. Logo temos uma indeterminação do tipo 1^{\infty}. Para resolver, usamos a forma exponencial
(1+\cos(x))^{3\operatorname{sec}(x)} = \exp\bigl(3\operatorname{sec}(x)\,\ln(1+\cos(x))\bigr)
e estudamos
A = \lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \operatorname{sec}(x)\,\ln\bigl(1+\cos(x)\bigr).

Passo 2

Para calcular
A = \lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{\ln(1+\cos(x))}{\cos(x)},
fazemos a mudança h = x - \tfrac{\pi}{2}, de modo que h\to0. Então
\cos(x) = \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}+h\bigr) = -\sin(h)\sim -h,
e
1+\cos(x)\sim 1 - h,\quad \ln(1+\cos(x)) \sim \ln(1-h)\sim -h.
Substituindo em A:
\operatorname{sec}(x)\,\ln(1+\cos(x)) = \frac{\ln(1+\cos(x))}{\cos(x)} \sim \frac{-h}{-h} = 1.

Passo 3

Como \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\operatorname{sec}(x)\ln(1+\cos(x))=1, a expressão no expoente de \exp vale 3\cdot1=3. Portanto
L = \exp\bigl(3\cdot1\bigr) = e^{3}.

Resposta

e^{3}

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