Exercício 7. Calcule os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^{3}}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to1}\Bigl(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^{3}}\Bigr).
Estamos no contexto de limites de funções racionais; ao substituir x=1 temos formas do tipo “infinito menos infinito” ou “ 0/0”, então vamos usar fatoração para obter uma expressão simplificável.

Passo 2

Observe que
1 - x^{3} = (1-x)(1 + x + x^{2}),
que é a fatoração de diferença de cubos. Isso vai nos permitir unificar denominadores.

Passo 3

Reescrevemos \frac{1}{1-x} sobre o mesmo denominador de \frac{3}{1-x^{3}}:
\frac{1}{1-x} = \frac{1 + x + x^{2}}{(1-x)(1 + x + x^{2})} = \frac{1 + x + x^{2}}{1 - x^{3}}.
Logo a diferença fica
\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^{3}} = \frac{1 + x + x^{2}}{1 - x^{3}} - \frac{3}{1 - x^{3}} = \frac{(1 + x + x^{2}) - 3}{1 - x^{3}}.

Passo 4

No numerador simplificamos
(1 + x + x^{2}) - 3 = x + x^{2} - 2 = (x-1)(x+2).
Então
\frac{(1 + x + x^{2}) - 3}{1 - x^{3}} = \frac{(x-1)(x+2)}{(1-x)(1+x+x^{2})}.
Como 1-x = -(x-1), temos
\frac{(x-1)(x+2)}{(1-x)(1+x+x^{2})} = -\frac{x+2}{1 + x + x^{2}},
válido para x\neq1.

Passo 5

Agora podemos tomar o limite por continuidade da função simplificada:
\lim_{x\to1}\Bigl(-\frac{x+2}{1 + x + x^{2}}\Bigr) = -\frac{1+2}{1+1+1^{2}} = -\frac{3}{3} = -1.

Resposta

-1

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