Encontre, justificando, a quantidade de números naturais n, 10000<n<20000, tais que 6 n dividido por 105 deixa resto 96.

Passo 1

O enunciado pede que a gente conte os naturais n com 10000 < n < 20000 tais que, ao dividir 6n por 105, o resto seja 96. O conteúdo aqui é resolução de congruência linear e contagem de soluções num intervalo.

Passo 2

Escrevemos a condição como congruência:
6n \equiv 96 \pmod{105}.
Como \gcd(6,105)=3 e 3\mid96, podemos dividir tudo por 3:
2n \equiv 32 \pmod{35}.

Passo 3

Como \gcd(2,35)=1, 2 é invertível módulo 35. O inverso de 2 mod 35 é 18, pois 2\cdot18=36\equiv1\pmod{35}. Multiplicando a congruência por 18:
n \equiv 18\cdot32 \equiv 576 \equiv 16 \pmod{35}.
Logo, as soluções gerais são
n = 16 + 35k,\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Agora impomos 10000 < n < 20000. Isso dá
10000 < 16 + 35k < 20000
9984 < 35k < 19984
\frac{9984}{35} < k < \frac{19984}{35}
285{,}257\ldots < k < 570{,}97\ldots
Portanto k vai de 286 até 570, inclusive. O número de valores de k é
570 - 286 + 1 = 285.

Resposta

A quantidade de números naturais n que satisfazem a condição é 285.

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