Decida, justificando, se -a^{p}+a é múltiplo inteiro de p para todo primo positivo p e todo número inteiro a.

Passo 1

O enunciado pergunta se a quantidade
-a^{p} + a
é sempre múltiplo de p quando p é primo positivo e a é inteiro qualquer. O conteúdo principal aqui é Aritmética Modular, em particular o pequeno teorema de Fermat.

Passo 2

No contexto de congruências, queremos verificar se
-a^{p} + a \equiv 0 \pmod{p},
ou seja, se
a^{p} \equiv a \pmod{p}.
Analisaremos dois casos: quando p divide a e quando \gcd(a,p)=1.

Passo 3

Suponha p divide a. Então a\equiv 0\pmod{p}. Dessa forma
a^{p}\equiv 0^{p}\equiv 0\pmod{p} \quad\text{e}\quad a\equiv 0\pmod{p},
logo a^{p}\equiv a\pmod{p} e assim -a^{p}+a\equiv 0\pmod{p}.

Passo 4

Suponha \gcd(a,p)=1. Pelo pequeno teorema de Fermat, temos
a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}.
Multiplicando ambos os lados por a
a^{p}\equiv a\pmod{p},
novamente -a^{p}+a\equiv 0\pmod{p}.

Resposta

Sim. Para todo primo positivo p e todo inteiro a, a diferença -a^{p}+a é divisível por p.

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