Decida, justificando, se
é múltiplo inteiro de
para todo primo positivo
e todo número inteiro
.
Passo 1
O enunciado pergunta se a quantidade
é sempre múltiplo de
quando
é primo positivo e
é inteiro qualquer. O conteúdo principal aqui é Aritmética Modular, em particular o pequeno teorema de Fermat.
Passo 2
No contexto de congruências, queremos verificar se
ou seja, se
Analisaremos dois casos: quando
divide
e quando
.
Passo 3
Suponha
divide
. Então
. Dessa forma
logo
e assim
.
Passo 4
Suponha
. Pelo pequeno teorema de Fermat, temos
Multiplicando ambos os lados por
dá
novamente
.
Resposta
Sim. Para todo primo positivo
e todo inteiro
, a diferença
é divisível por
.