Seja j: \mathbb{Z}_{64} \rightarrow \mathbb{Z}_{64} definida por f(\bar{m})=\overline{12 m}, para todo \bar{m} \in \mathbb{Z}_{64}. Determine o conjunto
f^{-1}(\{\overline{20}, \overline{24}, \overline{44}\})

Passo 1

O enunciado define a aplicação
\displaystyle f\colon \mathbb{Z}_{64}\to \mathbb{Z}_{64} por
f(\bar m)=\overline{12m},
e pede o conjunto
\displaystyle f^{-1}(\{\overline{20},\overline{24},\overline{44}\}).
O conteúdo aqui é solução de congruências lineares do tipo
\displaystyle 12m\equiv a\pmod{64}.

Passo 2

Calculemos d=\gcd(12,64).
d=\gcd(12,64)=4.
Uma congruência 12m\equiv a\pmod{64} tem solução se, e somente se, 4\mid a. Como 20,24,44 são múltiplos de 4, cada caso admite exatamente d=4 soluções em \mathbb{Z}_{64}, espaçadas de 64/4=16. Para encontrar as soluções, dividimos a congruência por 4:
12m\equiv a\pmod{64} \quad\Longrightarrow\quad 3m\equiv \frac{a}{4}\pmod{16}.
Em seguida, multiplicamos pelo inverso de 3 em \mathbb{Z}_{16}, que é 3^{-1}\equiv 11\pmod{16}, pois 3\cdot11=33\equiv1\pmod{16}.

Passo 3

Resolvendo 12m\equiv20\pmod{64}:
3m\equiv \frac{20}{4}=5\pmod{16} \quad\Longrightarrow\quad m\equiv 11\cdot5=55\equiv7\pmod{16}.
As quatro soluções em \mathbb{Z}_{64} são
\{\bar7,\;\overline{7+16},\;\overline{7+32},\;\overline{7+48}\} =\{\bar7,\bar{23},\bar{39},\bar{55}\}.

Passo 4

Resolvendo 12m\equiv24\pmod{64}:
3m\equiv \frac{24}{4}=6\pmod{16} \quad\Longrightarrow\quad m\equiv 11\cdot6=66\equiv2\pmod{16}.
As quatro soluções são
\{\bar2,\bar{18},\bar{34},\bar{50}\}.

Passo 5

Resolvendo 12m\equiv44\pmod{64}:
3m\equiv \frac{44}{4}=11\pmod{16} \quad\Longrightarrow\quad m\equiv 11\cdot11=121\equiv9\pmod{16}.
As quatro soluções são
\{\bar9,\bar{25},\bar{41},\bar{57}\}.

Resposta

f^{-1}(\{\overline{20},\overline{24},\overline{44}\}) =\{\bar2,\bar7,\bar9,\bar{18},\bar{23},\bar{25},\bar{34},\bar{39},\bar{41},\bar{50},\bar{55},\bar{57}\}.

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