Seja j: \mathbb{Z}_{64} \rightarrow \mathbb{Z}_{64} definida por f(\bar{m})=\overline{12 m}, para todo \bar{m} \in \mathbb{Z}_{64}. Determine o conjunto
O enunciado define a aplicação \displaystyle f\colon \mathbb{Z}_{64}\to \mathbb{Z}_{64} por
f(\bar m)=\overline{12m},
e pede o conjunto \displaystyle f^{-1}(\{\overline{20},\overline{24},\overline{44}\}).
O conteúdo aqui é solução de congruências lineares do tipo \displaystyle 12m\equiv a\pmod{64}.
Passo 2
Calculemos d=\gcd(12,64).
d=\gcd(12,64)=4.
Uma congruência 12m\equiv a\pmod{64} tem solução se, e somente se, 4\mid a. Como 20,24,44 são múltiplos de 4, cada caso admite exatamente d=4 soluções em \mathbb{Z}_{64}, espaçadas de 64/4=16. Para encontrar as soluções, dividimos a congruência por 4: