Encontre k de modo que o sistema lx+y+z=0 x+2 y+k z=0 x+4 y+k^2 z=0 só admita a solução trivial

Passo 1

O enunciado dá um sistema homogêneo de três equações lineares em três incógnitas :
O conteúdo aqui é sistema homogêneo e sabemos que ele só admite a solução trivial se a matriz de coeficientes for invertível, isto é, tiver determinante diferente de zero.

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes
A = 1 & 1 & 1 1 & 2 & k 1 & 4 & k^2
e impomos a condição de invertibilidade:
det(A)neq 0

Passo 3

Para calcular det(A), aplicamos a operação R2 R2-R1 e R3 R3-R1, obtendo
det(A) =det 1 & 1 & 1 0 & 1 & k-1 0 & 3 & k^2-1 =1cdotdet1 & k-13 & k^2-1

Passo 4

Calculando o menor de ordem 2:
det1 & k-13 & k^2-1 =1cdot(k^2-1)-3cdot(k-1) =k^2-1-3k+3 =k^2-3k+2 =(k-1)(k-2)
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det(A)=(k-1)(k-2)

Passo 5

Para o sistema só ter solução trivial é preciso det(A)neq0, ou seja,
(k-1)(k-2)neq0
Isso acontece sempre que
kneq1 e kneq2

Resposta

kneq1 e kneq2.

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