Use a inversa da matriz dos coeficientes para resolver o sistema lx+2 y=5 2 x+y=4

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
x +2 y =52 x + y =4
e pede para resolver usando a inversa da matriz dos coeficientes. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, em particular o cálculo da inversa de matriz 2times2 e sua aplicação para obter o vetor solução.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes A e o vetor das constantes b:
A = 1 & 2[4pt] 2 & 1, b = 5[4pt] 4 ]

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
det A = 1cdot 1 - 2cdot 2 = 1 - 4 = -3
A matriz adjunta (transposta da matriz de cofatores) é
adj(A) = 1 & -2[4pt] -2 & 1
Logo a inversa de A é
A^-1 = 1det A,adj(A) = 1-3 1 & -2[4pt] -2 & 1 = -tfrac13 & tfrac23[4pt] tfrac23 & -tfrac13 ]

Passo 4

Agora obtemos o vetor solução fazendo ,(x,y)^T = A^-1b:
x[4pt] y = -tfrac13 & tfrac23[4pt] tfrac23 & -tfrac13 5[4pt] 4 = -tfrac13cdot 5 + tfrac23cdot 4[6pt] tfrac23cdot 5 + -tfrac13cdot 4 ]

Passo 5

Calculamos cada componente:
x = -tfrac53 + tfrac83 = tfrac33 = 1, y = tfrac103 - tfrac43 = tfrac63 = 2

Resposta

x=1, y=2

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