Determine se a função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} ; f(x, y)=(2 x, 0, x+y) é uma aplicação linear.

Passo 1

O enunciado define uma função
f\colon \mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}^{3},\quad f(x,y) = (2x,\,0,\,x+y)
e pede para verificar se f é linear, ou seja, se satisfaz aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Verificação da aditividade: seja (x_{1},y_{1}) e (x_{2},y_{2}) em \mathbb{R}^{2}. Então
f\bigl((x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})\bigr) = f(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}) = \bigl(2(x_{1}+x_{2}),\,0,\,(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})\bigr)
= (2x_{1}+2x_{2},\,0,\,x_{1}+y_{1}+x_{2}+y_{2}) = (2x_{1},0,x_{1}+y_{1}) + (2x_{2},0,x_{2}+y_{2}) = f(x_{1},y_{1}) + f(x_{2},y_{2}).

Passo 3

Verificação da homogeneidade: seja \lambda\in\mathbb{R} e (x,y)\in\mathbb{R}^{2}. Então
f\bigl(\lambda(x,y)\bigr) = f(\lambda x,\lambda y) = \bigl(2\lambda x,\,0,\,\lambda x+\lambda y\bigr) = \lambda\,(2x,0,x+y) = \lambda\,f(x,y).

Resposta

Sim, f é uma aplicação linear.

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