Calcule (sin 0,15) e (sin 0,3), com o ângulo em radianos, utilizando série de Taylor em torno de 0, com uma aproximação de (i) primeira ordem e (ii) uma aproximação de terceira ordem. (iii) Compare com os resultados aproximados com o resultado exato.
3. Sejam dois vetores A=4 imath- 13 k e B=-5 imath+2 jmath-1 k. Calcule (i) o produto escalar e (ii) o produto vetorial entre esses vetores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A primeira parte do exercício pede para calcularmos sin(0.15) e sin(0.3) usando a Série de Taylor em torno de 0. Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente de séries de potências. Para resolver isso, vamos precisar entender como a Série de Taylor funciona para a função seno e como usamos as aproximações de primeira e terceira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Série de Taylor para sin(x) em torno de 0. A série é dada por:
sin(x) = x - x^33! + x^55! - x^77! + dots
Aqui, cada termo da série envolve potências ímpares de x divididas pelo fatorial da potência.

Passo 3

Para a aproximação de primeira ordem, a gente considera apenas o primeiro termo da série. Então, temos:
sin(x) approx x
Isso é uma boa aproximação para valores de x próximos de 0.

Passo 4

Já para a aproximação de terceira ordem, a gente inclui até o terceiro termo da série. Assim, fica:
sin(x) approx x - x^36
Essa aproximação é mais precisa que a de primeira ordem.

Passo 5

Vamos agora calcular sin(0.15) e sin(0.3) usando ambas as aproximações.
Para x = 0.15:
  • Primeira ordem: sin(0.15) approx 0.15
  • Terceira ordem: sin(0.15) approx 0.15 - (0.15)^36
Calculando:
0.15^3 = 0.003375
0.0033756 = 0.0005625
sin(0.15) approx 0.15 - 0.0005625 = 0.1494375
Para x = 0.3:
  • Primeira ordem: sin(0.3) approx 0.3
  • Terceira ordem: sin(0.3) approx 0.3 - (0.3)^36
Calculando:
0.3^3 = 0.027
0.0276 = 0.0045
sin(0.3) approx 0.3 - 0.0045 = 0.2955

Passo 6

Agora, vamos comparar com os valores exatos usando uma calculadora:
  • sin(0.15) approx 0.149438
  • sin(0.3) approx 0.295520

Passo 7

Comparando os resultados:
  • Para x = 0.15:
    • Primeira ordem: 0.15
    • Terceira ordem: 0.1494375
    • Exato: 0.149438
    A aproximação de terceira ordem está praticamente igual ao valor exato!
  • Para x = 0.3:
    • Primeira ordem: 0.3
    • Terceira ordem: 0.2955
    • Exato: 0.295520
    Novamente, a terceira ordem está bem próxima do valor exato, enquanto a primeira ordem é um pouco menos precisa.

Passo 8

Agora, vamos para a segunda parte do exercício. Temos dois vetores:
A = 4,imath - 13,k
B = -5,imath + 2,jmath - 1,k
Precisamos calcular (i) o produto escalar e (ii) o produto vetorial entre eles. Isso está relacionado à matéria de Álgebra Vetorial.

Passo 9

Produto Escalar (também conhecido como produto interno) entre dois vetores A = a1,imath + a2,jmath + a3,k e B = b1,imath + b2,jmath + b3,k é calculado assim:
A cdot B = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
Isso resulta em um número (escalar) que nos dá uma ideia de como os vetores estão alinhados.

Passo 10

Produto Vetorial (ou produto cruzado) entre A e B resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. Sua fórmula é:
A times B = (a2 b3 - a3 b2),imath - (a1 b3 - a3 b1),jmath + (a1 b2 - a2 b1),k

Passo 11

Vamos calcular agora.
Dado:
A = 4,imath + 0,jmath -13,k
B = -5,imath + 2,jmath -1,k
Nota: O vetor A não tem componente jmath, então a2 = 0.

Passo 12

Calculando o Produto Escalar:
A cdot B = (4)(-5) + (0)(2) + (-13)(-1) = -20 + 0 + 13 = -7

Passo 13

Calculando o Produto Vetorial:
Vamos aplicar a fórmula passo a passo.
A times B = ( a2 b3 - a3 b2 )imath - ( a1 b3 - a3 b1 )jmath + ( a1 b2 - a2 b1 )k
Substituindo os valores:
= ( 0 times (-1) - (-13) times 2 )imath - ( 4 times (-1) - (-13) times (-5) )jmath + ( 4 times 2 - 0 times (-5) )k
Calculando cada componente:
  • Componente imath:
    0 + 26 = 26
  • Componente jmath:
    -4 - 65 = -69
  • Componente k:
    8 - 0 = 8
Então,
A times B = 26,imath - 69,jmath + 8,k

Resposta

(i) Produto escalar entre A e B: -7.
(ii) Produto vetorial entre A e B: 26,imath - 69,jmath + 8,k.

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