Calcule
e
, com o ângulo em radianos, utilizando série de Taylor em torno de 0, com uma aproximação de (i) primeira ordem e (ii) uma aproximação de terceira ordem. (iii) Compare com os resultados aproximados com o resultado exato.
3. Sejam dois vetores
e
. Calcule (i) o produto escalar e (ii) o produto vetorial entre esses vetores.
3. Sejam dois vetores
Passo 1
Beleza, vamos lá! A primeira parte do exercício pede para calcularmos
e
usando a Série de Taylor em torno de 0. Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente de séries de potências. Para resolver isso, vamos precisar entender como a Série de Taylor funciona para a função seno e como usamos as aproximações de primeira e terceira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Série de Taylor para
em torno de 0. A série é dada por:
Aqui, cada termo da série envolve potências ímpares de
divididas pelo fatorial da potência.
Passo 3
Para a aproximação de primeira ordem, a gente considera apenas o primeiro termo da série. Então, temos:
Isso é uma boa aproximação para valores de
próximos de 0.
Passo 4
Já para a aproximação de terceira ordem, a gente inclui até o terceiro termo da série. Assim, fica:
Essa aproximação é mais precisa que a de primeira ordem.
Passo 5
Vamos agora calcular
e
usando ambas as aproximações.
Para
:
- Primeira ordem:
- Terceira ordem:
Calculando:
Para
:
- Primeira ordem:
- Terceira ordem:
Calculando:
Passo 6
Agora, vamos comparar com os valores exatos usando uma calculadora:
Passo 7
Comparando os resultados:
-
Para
: - Primeira ordem: 0.15
- Terceira ordem: 0.1494375
- Exato: 0.149438
A aproximação de terceira ordem está praticamente igual ao valor exato! -
Para
: - Primeira ordem: 0.3
- Terceira ordem: 0.2955
- Exato: 0.295520
Novamente, a terceira ordem está bem próxima do valor exato, enquanto a primeira ordem é um pouco menos precisa.
Passo 8
Agora, vamos para a segunda parte do exercício. Temos dois vetores:
Precisamos calcular (i) o produto escalar e (ii) o produto vetorial entre eles. Isso está relacionado à matéria de Álgebra Vetorial.
Passo 9
Produto Escalar (também conhecido como produto interno) entre dois vetores
e
é calculado assim:
Isso resulta em um número (escalar) que nos dá uma ideia de como os vetores estão alinhados.
Passo 10
Produto Vetorial (ou produto cruzado) entre
e
resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. Sua fórmula é:
Passo 11
Vamos calcular agora.
Dado:
Nota: O vetor
não tem componente
, então
.
Passo 12
Calculando o Produto Escalar:
Passo 13
Calculando o Produto Vetorial:
Vamos aplicar a fórmula passo a passo.
Substituindo os valores:
Calculando cada componente:
-
Componente
: -
Componente
: -
Componente
:
Então,
Resposta
(i) Produto escalar entre
e
:
.
(ii) Produto vetorial entre
e
:
.