integral 2 x(x^2+1)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 2x(x^2+1)^3 dx. Esse exercício está na área de cálculo integral, especificamente em integração por substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma variável mais simples, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observamos que dentro da integral temos x^2 + 1, que está elevada à terceira potência, e multiplicada por 2x.

Passo 3

Vamos chamar u de x^2 + 1. Ou seja:
u = x^2 + 1

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x, que é du/dx:
dudx = 2x
Isso significa que:
du = 2x , dx

Passo 5

Perceba que 2x , dx está presente na nossa integral original. Assim, podemos substituir 2x , dx por du, e (x^2 + 1)^3 por u^3. A integral fica então:
integral u^3 du

Passo 6

Agora, vamos integrar u^3 em relação a u. A regra de integração para u^n é:
integral u^n du = u^n+1n+1 + C
Aplicando essa regra:
integral u^3 du = u^44 + C

Passo 7

Finalmente, vamos voltar à variável original x, substituindo u por x^2 + 1:
(x^2 + 1)^44 + C

Resposta

A integral integral 2x(x^2+1)^3 dx é igual a (x^2 + 1)^44 + C.

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