Encontre A^{-1} para
A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa de
A = \begin{pmatrix}1 & 2\\\ 3 & 1\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é a fórmula da inversa de matriz 2\times2, que exige calcular o determinante e a matriz adjunta (ou transposta dos cofatores).

Passo 2

Calculemos o determinante de A. Se chamarmos
A = \begin{pmatrix}a & b\c & d\end{pmatrix},
então
\det(A) = a d - b c.
No nosso caso a=1, b=2, c=3 e d=1, logo
\det(A) = 1\cdot1 - 2\cdot3 = 1 - 6 = -5.

Passo 3

A matriz adjunta de A (para 2\times2) é
\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix}d & -b\\\ -c & a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -2\\\ -3 & 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Pela fórmula da inversa de 2\times2, temos
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A).
Substituindo \det(A)=-5 e a adjunta calculada,
A^{-1} = \frac{1}{-5} \begin{pmatrix}1 & -2\\\ -3 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\\[6pt] \frac{3}{5} & -\frac{1}{5} \end{pmatrix}.]

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\\[6pt] \frac{3}{5} & -\frac{1}{5} \end{pmatrix}.]

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