Calcule A B+B A para A=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular AB + BA em que
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo principal é multiplicação de matrizes, e vamos usar que B é a matriz de uns, então as entradas de AB são as somas das linhas de A, e as de BA são as somas das colunas de A.

Passo 2

Calcular AB. Para cada i,j vale
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{3}A_{ik}\,B_{kj} =\sum_{k=1}^{3}A_{ik}\cdot1 =\text{soma da linha \(i\) de \(A\)}.
As somas das linhas de A são
linha 1: 0+1+1=2,
linha 2: 0+0+1=1,
linha 3: 1+0+0=1.
Logo,
AB = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular BA. Para cada i,j vale
(BA)_{ij}=\sum_{k=1}^{3}B_{ik}\,A_{kj} =\sum_{k=1}^{3}1\cdot A_{kj} =\text{soma da coluna \(j\) de \(A\)}.
As somas das colunas de A são
coluna 1: 0+0+1=1,
coluna 2: 1+0+0=1,
coluna 3: 1+1+0=2.
Assim,
BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 1 & 1 & 2\\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Somar as matrizes:
AB + BA = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 1 & 1 & 2\\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+1 & 2+1 & 2+2\\\\ 1+1 & 1+1 & 1+2\\\\ 1+1 & 1+1 & 1+2 \end{pmatrix}.

Resposta

AB + BA = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 4\\\\ 2 & 2 & 3\\\\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}.

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