Encontre A^{-1} para
A=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 2 \\\\ 1 & 3 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & 2\\\\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é cálculo de inversa de matriz 3\times3, para o qual vamos precisar do determinante de A e da matriz adjunta (adjugada).

Passo 2

Calcular o determinante de A expandindo pela primeira linha:
\det(A) =0\cdot\det\begin{pmatrix}2&2\\\ 3&1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&3\end{pmatrix}.
Agora avalia cada menor:
\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&1\end{pmatrix}=1\cdot1-2\cdot1=-1, \quad \det\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&3\end{pmatrix}=1\cdot3-2\cdot1=1.
Logo
\det(A)=0 -1\cdot(-1) +1\cdot1 = 1+1 = 2.

Passo 3

Construir a matriz dos cofatores C, onde C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} e M_{ij} é o menor de ordem 2 obtido ao eliminar a linha i e a coluna j:
C = \begin{pmatrix} -4 & 1 & 1\\\\ 2 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
(Os valores de cada entrada vêm do cálculo dos menores e do fator (-1)^{i+j}.)

Passo 4

A adjunta de A é \operatorname{adj}(A)=C^{T}. Assim
\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} -4 & 2 & 0\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Finalmente, pela fórmula
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A),
obtemos
A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -4 & 2 & 0\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0\\\ \tfrac12 & -\tfrac12 & \tfrac12\\\ \tfrac12 & \tfrac12 & -\tfrac12 \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0\\\ \tfrac12 & -\tfrac12 & \tfrac12\\\ \tfrac12 & \tfrac12 & -\tfrac12 \end{pmatrix}.

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