Encontre
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pedido: encontrar
. - Dado:
. - Observação importante sobre domínio: como aparece
, é necessário ter . Além disso o denominador não pode ser zero, ou seja (ou seja ). Assim a função está definida para e .
Passo 2
Escolha do método (breve): vou usar a regra do quociente para derivar
. Isso é direto e elementar aqui porque
é uma razão de duas funções simples. Também precisarei da derivada de
, que é uma regra básica.
Passo 3
Lembrete das fórmulas que vou usar (explicadas de forma clara):
- Regra do quociente: se
então
Aqui
e
são as derivadas de
e
em relação a
. A fórmula vem de aplicar a regra do produto a
e da regra da cadeia, mas não precisamos derivá-la agora — basta saber usá-la.
- Derivada do logaritmo natural: para
,
(Intuição rápida:
é a inversa de
; derivada da inversa leva à recíproca da derivada da direta, resultando em
.)
Passo 4
Identificar
e
e calcular suas derivadas:
- Tome
. Então
- Tome
. Então
Passo 5
Aplicar a regra do quociente e simplificar passo a passo:
No numerador, coloque o fator comum
:
Os termos
e
se cancelam dentro dos colchetes, restando
Portanto
Passo 6
Validação rápida e observações finais:
- A derivada encontrada é
. Ela faz sentido para e também exige , ou seja , tal como a função original. - Como checagem alternativa (curta): definir
dá . Então e . Pela regra da cadeia , coincide com o resultado acima.