Encontre d y / d x.
y=\frac{1+\log x}{1-\log x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pedido: encontrar \dfrac{dy}{dx}.
  • Dado: y=\dfrac{1+\log x}{1-\log x}.
  • Observação importante sobre domínio: como aparece \log x, é necessário ter x>0. Além disso o denominador 1-\log x não pode ser zero, ou seja \log x\neq1 (ou seja x\neq e). Assim a função está definida para x>0 e x\neq e.

Passo 2

Escolha do método (breve): vou usar a regra do quociente para derivar \dfrac{u(x)}{v(x)}. Isso é direto e elementar aqui porque y é uma razão de duas funções simples. Também precisarei da derivada de \log x, que é uma regra básica.

Passo 3

Lembrete das fórmulas que vou usar (explicadas de forma clara):
  • Regra do quociente: se y=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v em relação a x. A fórmula vem de aplicar a regra do produto a u\cdot v^{-1} e da regra da cadeia, mas não precisamos derivá-la agora — basta saber usá-la.
  • Derivada do logaritmo natural: para x>0,
\dfrac{d}{dx}\big(\log x\big)=\dfrac{1}{x}.
(Intuição rápida: \log x é a inversa de e^x; derivada da inversa leva à recíproca da derivada da direta, resultando em 1/x.)

Passo 4

Identificar u e v e calcular suas derivadas:
  • Tome u(x)=1+\log x. Então
u'(x)=0+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x}.
  • Tome v(x)=1-\log x. Então
v'(x)=0-\dfrac{1}{x}=-\dfrac{1}{x}.

Passo 5

Aplicar a regra do quociente e simplificar passo a passo:
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\dfrac{\dfrac{1}{x}\big(1-\log x\big)-\big(1+\log x\big)\big(-\dfrac{1}{x}\big)}{\big(1-\log x\big)^{2}}.
No numerador, coloque o fator comum \dfrac{1}{x}:
\text{numerador}=\dfrac{1}{x}\big(1-\log x\big)+\dfrac{1}{x}\big(1+\log x\big) =\dfrac{1}{x}\big[(1-\log x)+(1+\log x)\big].
Os termos -\log x e +\log x se cancelam dentro dos colchetes, restando
\text{numerador}=\dfrac{1}{x}\cdot(1+1)=\dfrac{2}{x}.
Portanto
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{2}{x}}{\big(1-\log x\big)^{2}} =\dfrac{2}{x\big(1-\log x\big)^{2}}.

Passo 6

Validação rápida e observações finais:
  • A derivada encontrada é \dfrac{2}{x(1-\log x)^{2}}. Ela faz sentido para x>0 e também exige 1-\log x\neq0, ou seja x\neq e, tal como a função original.
  • Como checagem alternativa (curta): definir t=\log x y=(1+t)/(1-t). Então \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{2}{(1-t)^{2}} e \dfrac{dt}{dx}=1/x. Pela regra da cadeia \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{2}{x(1-\log x)^{2}}, coincide com o resultado acima.

Resposta

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2}{x\big(1-\log x\big)^{2}}

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