O que o enunciado pede: encontrar \dfrac{dy}{dx} para a função dada.
O que é fornecido: y=\log(\ln x).
Observações importantes extraídas do enunciado:
A expressão contém duas funções compostas: primeiro x\mapsto \ln x e depois u\mapsto \log(u).
Para que \ln x esteja definido e \log(\ln x) faça sentido, é preciso que \ln x>0, isto é, x>1. Logo o domínio natural da função é x>1.
(Nota: a seguir vou assumir primeiro que \log significa o logaritmo natural, isto é \log=\ln. Mais adiante mostro o caso de \log com base arbitrária.)
Passo 2
Ideia da técnica que vamos usar (explicada passo a passo e com intuição): quando temos uma função composta y=f(g(x)), a derivada é dada pela regra da cadeia. A regra da cadeia diz que devemos derivar a função externa em relação à sua entrada e multiplicar pela derivada da função interna. Em símbolos:
Aqui vamos aplicar com f(u)=\ln u (a função externa) e g(x)=\ln x (a função interna). Para ficar mais claro, introduzimos a notação intermediária u=\ln x, assim y=\ln u. Então usaremos
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.
Explico cada parte: \dfrac{dy}{du} é a derivada de \ln u em relação a u; \dfrac{du}{dx} é a derivada de \ln x em relação a x.
Passo 3
Calcular \dfrac{du}{dx} onde u=\ln x.
Lembrete da fórmula: a derivada do logaritmo natural é
Portanto a derivada simplificada é \dfrac{1}{x\ln x}, válida no domínio x>1 (pois só aí \ln(\ln x) está definida).
Passo 6
Comentário útil para a prova (caso em que \log não seja natural): se \log significar logaritmo em base a>0,\\ a\neq1, então \log_a t=\dfrac{\ln t}{\ln a}. Nesse caso