Encontre d y / d x.
y=\log (\ln x)

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar \dfrac{dy}{dx} para a função dada.
O que é fornecido: y=\log(\ln x).
Observações importantes extraídas do enunciado:
  • A expressão contém duas funções compostas: primeiro x\mapsto \ln x e depois u\mapsto \log(u).
  • Para que \ln x esteja definido e \log(\ln x) faça sentido, é preciso que \ln x>0, isto é, x>1. Logo o domínio natural da função é x>1.
(Nota: a seguir vou assumir primeiro que \log significa o logaritmo natural, isto é \log=\ln. Mais adiante mostro o caso de \log com base arbitrária.)

Passo 2

Ideia da técnica que vamos usar (explicada passo a passo e com intuição): quando temos uma função composta y=f(g(x)), a derivada é dada pela regra da cadeia. A regra da cadeia diz que devemos derivar a função externa em relação à sua entrada e multiplicar pela derivada da função interna. Em símbolos:
\frac{dy}{dx}=\frac{df}{dg}\Big|_{g=g(x)}\cdot\frac{dg}{dx}.
Aqui vamos aplicar com f(u)=\ln u (a função externa) e g(x)=\ln x (a função interna). Para ficar mais claro, introduzimos a notação intermediária u=\ln x, assim y=\ln u. Então usaremos
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.
Explico cada parte: \dfrac{dy}{du} é a derivada de \ln u em relação a u; \dfrac{du}{dx} é a derivada de \ln x em relação a x.

Passo 3

Calcular \dfrac{du}{dx} onde u=\ln x.
Lembrete da fórmula: a derivada do logaritmo natural é
\frac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\frac{1}{x},
válida para x>0. Aplicando isso:
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\frac{1}{x}.

Passo 4

Calcular \dfrac{dy}{du} onde y=\ln u.
Usando a mesma fórmula (derivada do logaritmo natural em relação à sua variável):
\frac{dy}{du}=\frac{d}{du}\big(\ln u\big)=\frac{1}{u}.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia e simplificar. Substituindo \dfrac{dy}{du}=\dfrac{1}{u} e \dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{x} e lembrando que u=\ln x, obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{x\,u}=\frac{1}{x\ln x}.
Portanto a derivada simplificada é \dfrac{1}{x\ln x}, válida no domínio x>1 (pois só aí \ln(\ln x) está definida).

Passo 6

Comentário útil para a prova (caso em que \log não seja natural): se \log significar logaritmo em base a>0,\\ a\neq1, então \log_a t=\dfrac{\ln t}{\ln a}. Nesse caso
y=\log_a(\ln x)=\frac{\ln(\ln x)}{\ln a}
e
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\ln a}\cdot\frac{1}{x\ln x}=\frac{1}{x\ln x\ln a}.
Para a base 10 (log comum) basta usar \ln a=\ln 10 na fórmula acima.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x\ln x}

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