Encontre a \leq b tais que \int_{a}^{b}\left(x^{2}-9\right) d x tenha valor mínimo.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar reais a \le b que minimizem a integral
\int_{a}^{b}\bigl(x^{2}-9\bigr)\,dx.
Vamos usar a expressão da integral definida e analisar o sinal de x^{2}-9.

Passo 2

Um primitiva de x^{2}-9 é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}-9x.
Logo,
\int_{a}^{b}(x^{2}-9)\,dx = F(b)-F(a) = \frac{b^{3}-a^{3}}{3}\;-\;9\,(b-a).

Passo 3

Observe que
  • para \lvert x\rvert<3, x^{2}-9<0;
  • em x=\pm3, x^{2}-9=0;
  • para \lvert x\rvert>3, x^{2}-9>0.
Para tornar a integral o mais negativo possível, queremos incluir todo o trecho em que x^{2}-9<0 e evitar onde x^{2}-9>0. Esse trecho é exatamente o intervalo [-3,3].

Passo 4

Alternativamente, podemos ver o ponto crítico exigindo derivadas parciais da expressão
G(a,b)=\frac{b^{3}-a^{3}}{3}-9\,(b-a).
Temos
\frac{\partial G}{\partial b}=b^{2}-9=0,\quad \frac{\partial G}{\partial a}=-(a^{2}-9)=0,
logo b=\pm3 e a=\pm3. Como precisa valer a\le b, escolhemos a=-3 e b=3. Nesse caso
\int_{-3}^{3}(x^{2}-9)\,dx = \bigl[F(3)-F(-3)\bigr] = -36,
confirmando que é o valor mínimo.

Resposta

a=-3, b=3.

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