Determine a função g(x) e todos os valores de c tais que
\int_{c}^{x} g(t) d t=x^{2}+x-6 .

Passo 1

O enunciado pede uma função g e todos os valores de c tais que
\int_{c}^{x} g(t)\,dt = x^{2} + x - 6.
O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que se
F(x) = \int_{c}^{x} g(t)\,dt,
então F'(x) = g(x). Além disso, devemos escolher c para que F(x) coincida com x^{2}+x-6.

Passo 2

Derivando ambos os lados da igualdade
\int_{c}^{x} g(t)\,dt = x^{2} + x - 6
em relação a x, pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos
g(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^{2} + x - 6\bigr) = 2x + 1.

Passo 3

Agora que já sabemos g(x)=2x+1, vamos recalcular a integral para ver a dependência em c:
\int_{c}^{x} g(t)\,dt = \int_{c}^{x} (2t+1)\,dt = \bigl[t^{2}+t\bigr]_{t=c}^{t=x} = (x^{2}+x) - (c^{2}+c).

Passo 4

Para que essa expressão seja igual a x^{2}+x-6, precisamos de
(x^{2}+x) - (c^{2}+c) = x^{2}+x - 6 \quad\Longrightarrow\quad -(c^{2}+c) = -6 \quad\Longrightarrow\quad c^{2}+c-6 = 0.
Resolvendo a equação quadrática:
c^{2}+c-6=(c+3)(c-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad c = -3 \quad\text{ou}\quad c = 2.

Resposta

A função é
g(x) = 2x + 1,
e os valores de c que satisfazem a condição são
c = -3 \quad\text{ou}\quad c = 2.

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