Seja f(x)=x^{2}-5 x-6 e F(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t.
(a) Determine os pontos críticos de F(x) e classifique-os como máximos ou mínimos locais.
(b) Encontre os pontos de inflexão de F(x) e indique a mudança de concavidade.

Passo 1

O enunciado dá f(x)=x^2-5x-6 e define
F(x)=\int_{0}^{x}f(t)\,dt.
Vamos usar que F'(x)=f(x) para encontrar os pontos críticos e que F''(x)=f'(x) para classificar extremos e concavidade.

Passo 2

Calculamos as derivadas de F:
F'(x)=f(x)=x^2-5x-6,
F''(x)=f'(x)=2x-5.

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos
x^2-5x-6=0,
x=\frac{5\pm\sqrt{25+24}}{2}=\frac{5\pm7}{2},
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x=-1,\quad x=6.

Passo 4

Classificamos cada ponto via F'':
Para x=-1:
F''(-1)=2(-1)-5=-7<0
indica máximo local.
Para x=6:
F''(6)=2\cdot6-5=7>0
indica mínimo local.

Passo 5

Ponto de inflexão vem de
F''(x)=2x-5=0\implies x=\frac{5}{2}.
Para x<\tfrac{5}{2}, F''(x)<0 (concavidade para baixo) e para x>\tfrac{5}{2}, F''(x)>0 (concavidade para cima), confirmando inflexão em x=\tfrac{5}{2}.

Resposta

(a) Pontos críticos em x=-1 (máximo local) e x=6 (mínimo local).
(b) Ponto de inflexão em x=\tfrac{5}{2}, com mudança de concavidade de para baixo para para cima.

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