Determine f(x), sabendo que \int_{0}^{x} f(t) d t=x^{2}+x.

Passo 1

O enunciado nos dá a função definida implicitamente por
\int_{0}^{x} f(t)\,dt = x^{2} + x
e quer determinar f(x). Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que, se
F(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,dt,
então
F'(x) = f(x).

Passo 2

Denotando
F(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,dt,
temos F(x) = x^{2} + x. Diferenciando em relação a x, vem
F'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^{2} + x\bigr) = 2x + 1.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, F'(x)=f(x), logo
f(x) = 2x + 1.

Resposta

f(x) = 2x + 1

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