Encontre lim (x, y) (0,0) 2 x^2+x y^2+2 y^2x^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o limite da função 2x^2 + xy^2 + 2y^2x^2 + y^2 quando (x, y) se aproxima de (0, 0). Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, mais especificamente limites de funções com duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões com x e y e verificar se o limite existe quando nos aproximamos do ponto (0, 0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do limite. A gente tem:
2x^2 + xy^2 + 2y^2x^2 + y^2
Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
2x^2x^2 + y^2 + xy^2x^2 + y^2 + 2y^2x^2 + y^2
Isso nos ajuda a analisar cada parte separadamente.

Passo 3

Vamos analisar o primeiro termo: 2x^2x^2 + y^2.
Como x e y estão se aproximando de 0, tanto x^2 quanto y^2 vão até 0. No entanto, o que importa aqui é a relação entre x e y. Podemos notar que esse termo ficará sempre entre 0 e 2, já que x^2 é sempre menor ou igual a x^2 + y^2, então:
0 <= 2x^2x^2 + y^2 <= 2

Passo 4

Agora, olhemos para o segundo termo: xy^2x^2 + y^2.
Aqui, temos xy^2 no numerador. Como y^2 é positivo e x tende para 0, esse termo também tende para 0. Podemos ver que:
|xy^2x^2 + y^2| <= |x|y^2x^2 + y^2 <= |x|
E como x vai para 0, o termo inteiro vai para 0.

Passo 5

Vamos para o terceiro termo: 2y^2x^2 + y^2.
De maneira similar ao primeiro termo, y^2 está no numerador e denominador. Podemos ver que:
0 <= 2y^2x^2 + y^2 <= 2
Assim como o primeiro termo, esse também está limitado entre 0 e 2.

Passo 6

Agora, juntando tudo, nossa expressão original está sendo formada pela soma desses três termos:
2x^2x^2 + y^2 + xy^2x^2 + y^2 + 2y^2x^2 + y^2
Sabemos que o primeiro e o terceiro termos estão entre 0 e 2, e o segundo termo tende para 0. Então, a soma desses termos vai estar entre 0 e 4. Mas precisamos ser mais precisos para encontrar o limite exato.

Passo 7

Uma boa forma de verificar o limite de funções de duas variáveis é converter para coordenadas polares, onde x = rcostheta e y = rsintheta, e r tende para 0.
Substituindo na expressão:
2(rcostheta)^2 + (rcostheta)(rsintheta)^2 + 2(rsintheta)^2(rcostheta)^2 + (rsintheta)^2
Simplificando:
2r^2cos^2theta + r^3costhetasin^2theta + 2r^2sin^2thetar^2(cos^2theta + sin^2theta)
Como cos^2theta + sin^2theta = 1, a expressão fica:
2r^2cos^2theta + r^3costhetasin^2theta + 2r^2sin^2thetar^2 = 2cos^2theta + rcosthetasin^2theta + 2sin^2theta

Passo 8

Agora, à medida que r tende para 0, o termo rcosthetasin^2theta também tende para 0, deixando:
2cos^2theta + 2sin^2theta = 2(cos^2theta + sin^2theta) = 2 times 1 = 2

Passo 9

Então, independentemente do valor de theta, o limite da expressão é 2.

Resposta

O limite é igual a 2.

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