Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o limite da função quando se aproxima de . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, mais especificamente limites de funções com duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões com e e verificar se o limite existe quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão do limite. A gente tem:
Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Isso nos ajuda a analisar cada parte separadamente.
Passo 3
Vamos analisar o primeiro termo: .
Como e estão se aproximando de 0, tanto quanto vão até 0. No entanto, o que importa aqui é a relação entre e . Podemos notar que esse termo ficará sempre entre 0 e 2, já que é sempre menor ou igual a , então:
Passo 4
Agora, olhemos para o segundo termo: .
Aqui, temos no numerador. Como é positivo e tende para 0, esse termo também tende para 0. Podemos ver que:
E como x vai para 0, o termo inteiro vai para 0.
Passo 5
Vamos para o terceiro termo: 2y^2x^2 + y^2.
De maneira similar ao primeiro termo, y^2 está no numerador e denominador. Podemos ver que:
0 <= 2y^2x^2 + y^2 <= 2
Assim como o primeiro termo, esse também está limitado entre 0 e 2.
Passo 6
Agora, juntando tudo, nossa expressão original está sendo formada pela soma desses três termos:
2x^2x^2 + y^2 + xy^2x^2 + y^2 + 2y^2x^2 + y^2
Sabemos que o primeiro e o terceiro termos estão entre 0 e 2, e o segundo termo tende para 0. Então, a soma desses termos vai estar entre 0 e 4. Mas precisamos ser mais precisos para encontrar o limite exato.
Passo 7
Uma boa forma de verificar o limite de funções de duas variáveis é converter para coordenadas polares, onde x = rcostheta e y = rsintheta, e r tende para 0.