Sendo 2 v+w=u e sabendo que a, b, calcule c e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores u, v e w com componentes conhecidas e desconhecidas. A missão é descobrir os valores de a, b e c que satisfazem a equação vetorial 2 v + w = u. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial e equações de componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os vetores com suas componentes:
u = (-1, 4, -1), v = (a, b, 12), w = (1, c, 2a + c)
Nossa equação é 2 v + w = u. Isso significa que, quando multiplicamos o vetor v por 2 e somamos o vetor w, o resultado deve ser igual ao vetor u.

Passo 3

Vamos expandir a equação 2 v + w = u componente por componente. Isso quer dizer que cada componente das somas deve ser igual à componente correspondente de u.
Primeiro, multiplicamos v por 2:
2 v = (2a, 2b, 2 times 12) = (2a, 2b, 1)
Agora, somamos w:
2 v + w = (2a + 1, 2b + c, 1 + (2a + c))
Igualando isso a u:
(2a + 1, 2b + c, 1 + 2a + c) = (-1, 4, -1)

Passo 4

Agora, temos um sistema de três equações:
  1. 2a + 1 = -1
  2. 2b + c = 4
  3. 1 + 2a + c = -1
Vamos resolver passo a passo.
Primeira equação:
2a + 1 = -1 implies 2a = -2 implies a = -1
Agora que encontramos a = -1, substituímos esse valor na terceira equação para encontrar c:
1 + 2(-1) + c = -1 implies 1 - 2 + c = -1 implies -1 + c = -1 implies c = 0
Por último, substituímos c = 0 na segunda equação para encontrar b:
2b + 0 = 4 implies 2b = 4 implies b = 2

Resposta

Os valores são a = -1, b = 2 e c = 0.

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