Questão 4- Encontre a solução do problema de valor inicial:
x^2 d yd x-2 x y=3 y^4 y(1)=12

Passo 1

A gente tem o problema de valor inicial
Temos a EDO
x^2dydx-2xy=3y^4,
com condição inicial y(1)=tfrac12.
O conteúdo aqui é equação de Bernoulli (primeira ordem não linear), e vamos precisar:
  • Colocar a equação em forma padrão y'+P(x)y=Q(x)y^n.
  • Aplicar a transformação de Bernoulli v=y^1-n.
  • Resolver a EDO linear obtida.

Passo 2

Dividimos tudo por x^2 para achar a forma padrão:
dydx-2xy=3x^2y^4
Aqui identificamos P(x)=-tfrac2x, Q(x)=tfrac3x^2 e o expoente de Bernoulli n=4.

Passo 3

Para eliminar a não‐linearidade definimos
v=y^1-n=y^-3=1y^3
Calculamos
dvdx=-3y^-4dydx
Substituindo dy/dx da equação original (em forma padrão), chegamos a uma EDO linear em v.

Passo 4

Após substituir obtemos:
dvdx=-3y^-4l(2xy+3x^2y^4r) =-6xy^-3-9x^2
Mas y^-3=v, então:
dvdx+6xv=-9x^2
É uma EDO linear padrão.

Passo 5

Para resolver usamos fator integrante:
mu(x)=expl(integral6xdxr)=x^6
Multiplicando a EDO por x^6
ddx(x^6v)=-9x^4
Integrando:
x^6v=integral -9x^4dx=-95x^5+C
Logo
v=1y^3=-95x^-1+Cx^-6

Passo 6

Voltando a y:
y^3=1Cx^-6-95x^-1= rac5x^65C-9x^5
Impondo y(1)=tfrac12 temos y(1)^3=1/8,
18=1C-tfrac95implies C=495
Então
y^3=5x^649-9x^5

Passo 7

Extraímos y por raiz cúbica:

Resposta

y(x)=raiz[3]5x^649-9x^5

Exercícios relacionados