- Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
- Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
- Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 1
A questão pede para analisar a função
em
sob três aspectos: monotonicidade (crescente/decrescente), extremos locais (máximos/mínimos) e concavidade com pontos de inflexão. Vamos usar derivadas primeira e segunda para isso.
Passo 2
Para estudar crescimento e decrescimento, calculamos a derivada
. Aplicando a regra: derivada de
é 1 e de
é
. Assim temos
Lembrando que
sempre, vemos que
No intervalo
,
apenas em
, e em todos os outros pontos
. Portanto
em quase todo o intervalo, o que significa que
é crescente em
e
. Como os pontos onde
são isolados, concluímos que
é estritamente crescente em
e não existe intervalo onde seja decrescente.
Passo 3
Para achar extremos locais, vemos que as únicas pontos críticos são onde
, ou seja
. Como
não muda de sinal em
(permanece positiva), não há nem máximo nem mínimo interno em
. Nos extremos do domínio, em
e
, temos fronteiras: em
a derivada passa de não definida à direita (positiva), sinalizando um mínimo relativo em extremidade, e em
ocorre analogamente (mas sem mudança de sinal). Na prática, não existe máximo ou mínimo interno; a função só atinge seu menor valor em
e maior em
, sem extremos locais no interior.
Passo 4
Agora a segunda derivada é
Sabemos que
em
e
, e
em
e
. Assim a função é côncava para cima onde
e para baixo onde
. Pontos de inflexão ocorrem na raiz de
, ou seja em
com
, onde a concavidade muda de sinal.
Resposta
- Crescente: em todo o intervalo [0,4π], isto é, em (0,2π) e (2π,4π). Não há intervalos decrescentes.
- Extremos locais internos: nenhum. Em 0 e 4π a função atinge valores mínimos e máximos globais, mas sem extremos locais interiores.
- Concavidade: côncava para cima em (0,π) e (2π,3π); côncava para baixo em (π,2π) e (3π,4π).
- Pontos de inflexão: x=π, 2π e 3π.