1. Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
  2. Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
  3. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
    f(x)=x-sen(x), 0 <= x <= 4 pi

Passo 1

A questão pede para analisar a função f(x)=x-sin(x) em [0,4pi] sob três aspectos: monotonicidade (crescente/decrescente), extremos locais (máximos/mínimos) e concavidade com pontos de inflexão. Vamos usar derivadas primeira e segunda para isso.

Passo 2

Para estudar crescimento e decrescimento, calculamos a derivada f'(x). Aplicando a regra: derivada de x é 1 e de -sin(x) é -cos(x). Assim temos
f'(x)=1-cos(x)
Lembrando que cos(x)<=1 sempre, vemos que
f'(x)>0iff1-cos(x)>0iffcos(x)<1
No intervalo [0,4pi], cos(x)=1 apenas em x=0,2pi,4pi, e em todos os outros pontos cos(x)<1. Portanto f'(x)>0 em quase todo o intervalo, o que significa que f é crescente em (0,2pi) e (2pi,4pi). Como os pontos onde f'(x)=0 são isolados, concluímos que f é estritamente crescente em [0,4pi] e não existe intervalo onde seja decrescente.

Passo 3

Para achar extremos locais, vemos que as únicas pontos críticos são onde f'(x)=0, ou seja x=0,2pi,4pi. Como f'(x) não muda de sinal em x=2pi (permanece positiva), não há nem máximo nem mínimo interno em 2pi. Nos extremos do domínio, em x=0 e x=4pi, temos fronteiras: em x=0 a derivada passa de não definida à direita (positiva), sinalizando um mínimo relativo em extremidade, e em x=4pi ocorre analogamente (mas sem mudança de sinal). Na prática, não existe máximo ou mínimo interno; a função só atinge seu menor valor em x=0 e maior em x=4pi, sem extremos locais no interior.

Passo 4

Agora a segunda derivada é
f''(x)=sin(x)
Sabemos que sin(x)>0 em (0,pi) e (2pi,3pi), e sin(x)<0 em (pi,2pi) e (3pi,4pi). Assim a função é côncava para cima onde f''(x)>0 e para baixo onde f''(x)<0. Pontos de inflexão ocorrem na raiz de f''(x)=0, ou seja em x=kpi com k=1,2,3, onde a concavidade muda de sinal.

Resposta

  • Crescente: em todo o intervalo [0,4π], isto é, em (0,2π) e (2π,4π). Não há intervalos decrescentes.
  • Extremos locais internos: nenhum. Em 0 e 4π a função atinge valores mínimos e máximos globais, mas sem extremos locais interiores.
  • Concavidade: côncava para cima em (0,π) e (2π,3π); côncava para baixo em (π,2π) e (3π,4π).
  • Pontos de inflexão: x=π, 2π e 3π.

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